第5章 5.3.2　正切函数的图象与性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．3．2　正切函数的图象与性质 [课标解读]　1．了解正切函数的画法．2．能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 知识点　正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增 [点拨]　(1)画正切函数y＝tan x，x∈(－，)图象常用“三点两线法”．找三个关键点：(，1)，(0，0)，(－，－1)，两条平行线：x＝，x＝－． (2)正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上是增函数，但不能说函数y＝tan x在定义域内是增函数． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R．(　　) (2)正切函数在R上是递增的．(　　) (3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．(　　) (4)正切函数的最小正周期为π．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝－tan x在[－，]上的值域是(　　) A．[－，－1] B．[－，1] C．[－1， ] D．[1， ] B　[f(x)＝－tan x在[－，]上是减函数，函数值域为，即[－，1]．故选B．] 3．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) B　[令－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，解得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．] 4．比较大小：tan tan． 解析：　tan＝tan，且0<<<， 又y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan<tan，即tan<tan． 答案：　< 探究点一　正切(型)函数的定义域与值域 (1)求函数y＝3tan 的定义域； (2)求函数y＝tan2x－2tan x的值域． 解析：　(1)令－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z， 即函数的定义域为． (2)令u＝tan x，因为|x|≤，所以由正切函数的图象知u∈[－， ]， 所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－， ]， 因为该二次函数的图象开口向上，图象的对称轴方程为u＝1， 所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，所以原函数的值域为[－1，3＋2 ]． 1．求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z． (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x的取值范围．　　 2．求正切函数值域的方法 (1)对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (2)对于与y＝tan x有关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． 即时练1．函数y＝3tan(π＋x)的值域为 ． 解析：　函数y＝3tan(π＋x)＝3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以－3<y≤，所以值域为(－3， ]． 答案：　(－3， ] 即时练2．函数y＝lg(－tan x)的定义域为 ． 解析：　因为－tan x>0，所以tan x<． 又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)． 根据正切函数图象，得kπ－<x<kπ＋(k∈Z)． 所以函数的定义域是{x＋kπ<x<＋kπ，k∈Z}． 答案：　 探究点二　正切(型)函数的周期性与奇偶性 已知函数y＝tan(ω<0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断奇偶性． 解析：　因为y＝tan＝tan(ωx＋＋π)＝tan， 所以＝， 所以ω＝－2， 故y＝tan＝－tan． 由2x－≠kπ＋(k∈Z)， 解得x≠＋(k∈Z)， 所以该函数的定义域为，值域为R． 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． 正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．　　 即时练3．函数f(x)＝x·tan x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 B　[函数的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称．