第5章 5.2.3　诱导公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．2．3　诱导公式 [课标解读]　1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式．2．掌握诱导公式，会运用诱导公式化简、求值与证明． 第1课时　诱导公式一～四 知识点　诱导公式一～四 1．诱导公式一～四(其中k∈Z) (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α． (2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α． (3)公式三：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α． (4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α． 2．诱导公式一～四的记忆方法 kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的同名函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号． [点拨]　公式一～四可简记为“函数名不变，符号看象限”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．(　　) (3)由公式二知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　) (4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．cos 1 110°的值为(　　) A． B． C．－ D．－ B　[cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝．] 3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　) A．－ B． C．－ D． B　[∵sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α， ∴sin α＝－，又α是第四象限角， ∴cos(α－2π)＝cos α＝ ＝ ＝．] 4．化简：＝ ． 解析：　＝ ＝＝＝1． 答案：　1 探究点一　给角求值问题 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos． 解析：　(1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200° ＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120° ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－． (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1． (3)cos ＝cos ＝cos＝cos ＝． 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 即时练1．求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin； (4)cos(－1 920°)． 解析：　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－． (2)sin ＝sin(2π＋)＝sin ＝sin ＝sin ＝． (3)sin＝－sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ＝． (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120° ＝cos(180°－60°) ＝－cos 60° ＝－． 探究点二　化简求值问题 化简：． 解析：　原式＝ ＝ ＝－ ＝－tan α． 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．　　 即时练2．化简下列各式： (1)； (2)． 解析：　(1)原式＝ ＝＝1． (2)原式＝ ＝＝－ ＝． 探究点三　给值(式)求值问题 已知cos＝，求 (1)cos的值； (2)sin2的值； (3)cos的值． 解析：　(1)因为cos＝cos[π－] ＝－cos＝－． 所以cos＝－． (2)sin2＝sin2 ＝sin2 ＝1－cos2 ＝1－ ＝． (3)cos＝cos ＝cos ＝cos＝． 解决条件求值问题的技巧 　　 即时练3．已知tan(π＋α)＝3，求的值． 解析：　因为tan(π＋α)＝3， 所以tan α＝3． 故 ＝ ＝ ＝＝7． 1．sin的值等于(　　) A． B．－ C． D． C　[由题意结合诱导公式一可得 sin＝sin＝sin ＝． 故选C．] 2．若＝，则tan θ＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 D　[原式＝＝＝，解得 tan θ＝－3．] 3．已知tan＝，则tan的值为 ． 解析：　tan＝－tan ＝－tan＝－． 答案：　－ 4．求下列各式