第5章 5.2.2　同角三角函数的基本关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

5．2．2　同角三角函数的基本关系 [课标解读]　理解同角三角函数的基本关系式sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α． 知识点　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方 关系 sin2 α＋cos2 α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数 关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [点拨]　(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin2 3α＋cos2 3α＝1成立，但是sin2 α＋cos2 β＝1就不一定成立． (2)sin2 α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2 α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　) (2)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．(　　) (3)sin2＋cos2＝1．(　　) (4)对任意的角α，都有tan α＝成立．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知sin α＝，α∈(，)，tan α等于(　　) A． B．－ C．－ D． B　[因为sin2 α＋cos2 α＝1， 则cos2 α＝1－sin2 α＝1－()2＝， 因为α∈(，)，所以cos α<0，所以cos α＝－， 所以tan α＝＝＝－．故选B．] 3．已知＝－3，则tan θ＝(　　) A．－1 B．－1或2 C．1或－2 D．2 D　[由＝－3，可得＝＝＝－3，解得tan θ＝2．故选D．] 4．已知cos α＝－，且tan α>0，则的值为 ． 解析：　由cos α＝－<0，tan α>0知α是第三象限角， 所以sin α＝－， 故＝ ＝sin α(1＋sin α)＝× ＝－． 答案：　－ 探究点一　利用同角基本关系式求值 (1)已知sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解析：　(1)∵sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝． 又∵α是第三象限角，∴cos α<0， 即cos α＝－，∴tan α＝＝－×＝． (2)∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝ ＝＝， tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－，tan α＝． 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．　　 即时练1．(2021·全国高一课时练习)已知cos(α＋)＝，0<α<，则sin等于(　　) A．－ B．－ C． D． D　[直接利用平方关系即可求出答案． ∵0<α<，∴<α＋<， ∴sin＝＝＝．故选D．] 探究点二　已知正切值求值 已知tan α＝2． (1)求的值； (2)求2sin2 α－sin αcos α＋cos2 α的值． 解析：　(1)法一(代入法)　∵tan α＝2， ∴＝2，∴sin α＝2cos α． ∴＝＝－． 法二(弦化切)　∵tan α＝2． ∴＝＝ ＝＝－． (2)2sin2 α－sin α cos α＋cos2 α ＝ ＝ ＝＝． 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2 α＋cos2 α来代换，将分子、分母同除以cos2 α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．　　 即时练2．已知＝2，计算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1． 解析：　由＝2，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3． (1)原式＝＝＝． (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝． 探究点三　sin θ±cos θ型求值问题 已知sin α＋cos α＝，求：(1)sin αcos α； (2)sin α－cos α．