5.2.2 同角三角函数的基本关系-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系，通过复习任意角三角函数定义导入，衔接前后知识，以平方关系和商数关系为核心，构建从理解到求值、化简、证明的学习支架。 其亮点是采用合作探究模式，设置多个探究点结合典例、规律方法与对点练，培养学生逻辑推理（如角的象限讨论）和数学运算（如弦化切技巧）能力。分层评价与自主检测助力巩固，教师使用可提升教学效率，学生能深化知识应用。

5.2.2　同角三角函数的基本关系 　 第5章　5.2　任意角的三角函数 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明，培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 内容索引 新知形成 1 合作探究 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　同角三角函数的基本关系 知识梳理 点拨　(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin2 3α＋cos2 3α＝1成立，但是sin2 α＋cos2 β＝1就不一定成立. 平方和 商 正切   关系式 文字表述 平方关系 sin2 α＋cos2 α＝1 同一个角α的正弦、余弦的_______等于1 商数关系 ＝______ 同一个角α的正弦、余弦的____等于角α的______ tan α (2)sin2 α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2 α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写.7 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角. (　　) (2)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立. (　　) (3)sin2＋cos2＝1. (　　) (4)对任意的角α，都有tan α＝成立. (　　) × × √ × 自主检测 2.已知sin α＝，α∈，tan α等于 A. B.－ C.－ D. √ 因为sin2 α＋cos2 α＝1， 则cos2 α＝1－sin2 α＝1－2＝， 因为α∈，所以cos α＜0，所以cos α＝－， 所以tan α＝＝＝－.故选B. 3.已知＝－3，则tan θ＝ A.－1 B.－1或2 C.1或－2 D.2 √ 由＝－3，可得＝＝＝－3，解得tan θ＝2.故选D. 4.已知cos α＝－，且tan α＞0，则的值为_______. － 由cos α＝－＜0，tan α＞0知α是第三象限角， 所以sin α＝－， 故＝ ＝sin α(1＋sin α)＝× ＝－. 返回 合作探究 返回 探究点一　利用同角基本关系式求值 (1)已知sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； 解：因为sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝1－sin2α＝1－＝. 又因为α是第三象限角，所以cos α＜0， 即cos α＝－，所以tan α＝＝－×＝. 典例 1 (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 解：因为cos α＝－＜0，所以α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0， 所以sin α＝ ＝＝， tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， 所以sin α＝－，tan α＝. 求三角函数值的方法 1.已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解 2.已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论. 规律方法 对点练1．已知cos＝，0＜α＜，则sin等于 A.－ B.－ C. D. √ 因为0＜α＜，所以＜α＋＜， 所以sin＝＝＝.故选D. 探究点二　已知正切值求值 已知tan α＝2. (1)求的值； 解：法一(代入法)　因为tan α＝2， 所以＝2，所以sin α＝2cos α. 所以＝＝－. 法二(弦化切)　因为tan α＝2. 所以＝＝ ＝＝－. 典例 2 (2)求2sin2 α－sin αcos α＋cos2 α的值. 解：2sin2 α－sin α cos α＋cos2 α ＝ ＝ ＝＝. 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 1.关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值. 2.若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2 α＋cos2 α来代换，将 分子、分母同除以 cos2 α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 规律方法 对点练2．已知＝2，计算下列各式的值. (1)； 解：由＝2，得sin α＝ 3cos α， 所以tan α＝3. 原式＝＝＝. (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 解：由＝2，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. 原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. 探究点三　sin θ±cos θ型求值问题 已知sin α＋cos α＝，求：(1)sin αcos α； 解：由sin α＋cos α＝， 平方得2sin αcos α＝－，所以sin αcos α＝－. 典例 3 (2)sin α－cos α. 解：因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝， 所以sin α－cos α＝±. 　　sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 提醒　求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号. 规律方法 对点练3．若0＜θ＜π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ. 解：因为0＜θ＜π，sin θcos θ＝－＜0， 所以sin θ ＞0，cos θ＜0，所以sin θ－cos θ ＞0， 所以sin θ－cos θ＝＝＝＝＝. 探究点四　三角函数式的化简与证明 (1)若sin α·tan α＜0，化简 ＋ ； 解：因为sin α·tan α＜0， 所以cos α＜0. 原式＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＝－. 典例 3 (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 解：证明：由已知等式变形得＝＋1， 即＝＋1 ＝， 即sin2β＝2sin2α－1. 1.三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2 α＋cos2 α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 规律方法 2.证明三角恒等式常用的方法 (1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等. (3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1. (4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想. 规律方法 对点练4．求证：＝. 证明：右边＝ ＝ ＝ ＝＝左边， 所以原等式成立. 返回 随堂评价 返回 1.已知sin θ＝，θ∈，则tan θ＝ A.－2 B.－ C.－ D.－ √ 因为sin θ＝，θ∈， 所以cos θ＜0，cos θ＝－＝－， 所以tan θ＝＝＝－. 2.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于 A. B.－ C.－ D. √ 由已知得，(sin α－cos α)2＝， 即sin2 α＋cos2 α－2sin αcos α＝， 又sin2 α＋cos2 α＝1， 所以1－2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－，故选C. 3.若0＜α＜，则 ＋ ＝__________. 2cos 原式＝＋ ＝＋， 因为α∈， 所以∈， 所以cos －sin ＞0， sin ＋cos ＞0， 所以原式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos . 4.化简下列各式： (1)化简：. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝＝1. (2)tan α(其中α是第二象限角). 解：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0， 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝· ＝·＝－1. 返回 课时分层评价 返回 1.若sin θ＝－，tan θ＜0，则cos θ＝ A. B. C.－ D.或－ √ 因为sin θ＝－＜0，tan θ＜0. 所以θ为第四象限角，cos θ＞0， 所以cos θ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(1＋tan2α)·cos2α＝　 A.1 B.1＋sin2α C.tan2α D.1＋cos2α √ 原式＝·cos2α ＝cos2α＋sin2α＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝　　 A. B.－ C. D.－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为sin α＝， 所以sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α) ＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1 ＝2×－1 ＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是 A. B.－ C. D.－ √ 因为α是第二象限角， 所以sin α＝＝＝， 所以tan α＝＝＝－.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 5.已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝ A. B.－ C. D.－ √ 由题意知cos α≠0，则由＝5，得＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝＝＝. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 2 6.已知α是第三象限角，化简： － ＝__________. －2tan α 原式＝－＝ －＝－. 因为α是第三象限角，所以cos α＜0. 所以原式＝－＝－2tan α. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 1 2 7.若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为___. 2 tan α＋＝＋＝. 又sin α＋cos α＝， 所以(sin α＋cos α)2＝2，sin αcos α＝， 所以tan α＋＝2. 6 7 8 9 10 11 12 4 5 3 1 2 8.已知tan α＝2，则＝_______. － 将式子的分子分母同除以cos α，化简＝， 又tan α＝2，所以原式＝＝－. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 1 2 9.(10分)求证：＋(1＋tan2α)cos2α＝2. 证明：左边＝＋cos2α＝＋·cos2α＝1＋1＝2＝右边. 9 10 11 12 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知2cos2 α＋3cos αsin α－3sin2 α＝1，α∈.求：(1)tan α； 解：2cos2 α＋3cos αsin α－3sin2 α ＝ ＝＝1， 即4tan2 α－3tan α－1＝0， 解得tan α＝－或tan α＝1. 因为α∈， 所以α为第二象限角，所以tan α＜0， 所以tan α＝－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 (2). 解：因为tan α＝－， 所以原式＝＝ ＝＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 1 2 11.(5分)已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－，则的值为__________. 因为cos α－sin α＝－，　　 ① 所以1－2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝.所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝. 又0＜α＜，所以sin α＋cos α＞0. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 所以sin α＋cos α＝.　　　　② 由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2， 所以＝. 10 11 12 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(15分)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈. (1)求＋的值； 解：由题意，得 所以＋＝＋＝ ＝sin θ＋cos θ＝. 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求实数m的值； 解：由(1)，知sin θ＋cos θ＝， 将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝， 由(1)，知＝，所以m＝. 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)求sin θ，cos θ及θ的值. 解：由(2)，可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝， 所以 又θ∈，所以θ＝. 返回 11 12 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 5.2　任意角的三角函数 返回 $