5.2.2 同角三角函数的基本关系-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明，培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识点　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2 α＋cos2 α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [点拨]　(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin2 3α＋cos2 3α＝1成立，但是sin2 α＋cos2 β＝1就不一定成立. (2)sin2 α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2 α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角.(　　) (2)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立. (　　) 学生用书⬇第121页 (3)sin2＋cos2＝1. (　　) (4)对任意的角α，都有tan α＝成立. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.已知sin α＝，α∈(，)，tan α等于(　　) A. B.－ C.－ D. 答案：B 解析：因为sin2 α＋cos2 α＝1， 则cos2 α＝1－sin2 α＝1－()2＝， 因为α∈(，)，所以cos α＜0，所以cos α＝－， 所以tan α＝＝＝－.故选B. 3.已知＝－3，则tan θ＝(　　) A.－1 B.－1或2 C.1或－2 D.2 答案：D 解析：由＝－3，可得＝＝＝－3，解得tan θ＝2.故选D. 4.已知cos α＝－，且tan α＞0，则的值为　　　　　　　　. 答案：－ 解析：由cos α＝－＜0，tan α＞0知α是第三象限角， 所以sin α＝－， 故＝ ＝sin α(1＋sin α)＝× ＝－. 探究点一　利用同角基本关系式求值 (1)已知sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 解：(1)因为sin2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝1－sin2α＝1－＝. 又因为α是第三象限角，所以cos α＜0， 即cos α＝－，所以tan α＝＝－×＝. (2)因为cos α＝－＜0，所以α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0， 所以sin α＝ ＝＝， tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， 所以sin α＝－，tan α＝. 求三角函数值的方法 1.已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解 2.已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论. 对点练1.已知cos(α＋)＝，0＜α＜，则sin等于(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：因为0＜α＜，所以＜α＋＜， 所以sin＝＝＝.故选D. 探究点二　已知正切值求值 已知tan α＝2. (1)求的值； (2)求2sin2 α－sin αcos α＋cos2 α的值. 解：(1)法一(代入法)　因为tan α＝2， 所以＝2，所以sin α＝2cos α. 所以＝＝－. 法二(弦化切)　因为tan α＝2. 所以＝＝ ＝＝－. (2)2sin2 α－sin α cos α＋cos2 α ＝ ＝ ＝＝. 学生用书⬇第122页 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 1.关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值. 2.若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2 α＋cos2 α来代换，将分子、分母同除以 cos2 α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 对点练2.已知＝2，计算下列各式的值. (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 解：由＝2，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. (1)原式＝＝＝. (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. 探究点三　sin θ±cos θ型求值问题 已知sin α＋cos α＝，求：(1)sin αcos α； (2)sin α－cos α. 解：(1)由sin α＋cos α＝， 平方得2sin αcos α＝－，所以sin αcos α＝－. (2)因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝， 所以sin α－cos α＝±. 　　sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. [提醒]　求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号. 对点练3.若0＜θ＜π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ. 解：因为0＜θ＜π，sin θcos θ＝－＜0， 所以sin θ ＞0，cos θ＜0，所以sin θ－cos θ ＞0， 所以sin θ－cos θ＝＝＝＝＝. 探究点四　三角函数式的化简与证明 (1)若sin α·tan α＜0，化简 ＋ ； (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 解：(1)因为sin α·tan α＜0， 所以cos α＜0. 原式＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＝－. (2)证明：由已知等式变形得＝＋1， 即＝＋1 ＝， 即sin2β＝2sin2α－1. 学生用书⬇第123页 1.三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2 α＋cos2 α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 2.证明三角恒等式常用的方法 (1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等. (3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1. (4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想. 对点练4.求证：＝. 证明：右边＝ ＝ ＝ ＝＝左边， 所以原等式成立. 1.已知sin θ＝，θ∈，则tan θ＝(　　) A.－2 B.－ C.－ D.－ 答案：D 解析：因为sin θ＝，θ∈， 所以cos θ＜0，cos θ＝－＝－， 所以tan θ＝＝＝－. 2.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　) A. B.－ C.－ D. 答案：C 解析：由已知得，(sin α－cos α)2＝， 即sin2 α＋cos2 α－2sin αcos α＝， 又sin2 α＋cos2 α＝1， 所以1－2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－，故选C. 3.若0＜α＜，则 ＋ ＝　　　　. 答案：2cos 解析：原式＝＋ ＝＋， 因为α∈， 所以∈， 所以cos －sin ＞0， sin ＋cos ＞0， 所以原式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos . 4.化简下列各式： (1)化简：. (2)tan α(其中α是第二象限角). 解：原式＝ ＝ ＝ ＝＝1. (2)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0， 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝· ＝·＝－1. 课时分层评价34　同角三角函数的基本关系 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.若sin θ＝－，tan θ＜0，则cos θ＝(　　 ) A. B. C.－ D.或－ 答案：B 解析：因为sin θ＝－＜0，tan θ＜0. 所以θ为第四象限角，cos θ＞0， 所以cos θ＝＝. 2.(1＋tan2α)·cos2α＝(　　 ) A.1 B.1＋sin2α C.tan2α D.1＋cos2α 答案：A 解析：原式＝·cos2α ＝cos2α＋sin2α＝1. 3.已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝(　　 ) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：因为sin α＝， 所以sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α) ＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1 ＝2×－1 ＝－. 4.已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：因为α是第二象限角， 所以sin α＝＝＝， 所以tan α＝＝＝－.故选D. 5.已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝(　　 ) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：由题意知cos α≠0，则由＝5，得＝5，即tan α＝2.所以sin2α－sin αcos α＝＝＝. 6.已知α是第三象限角，化简： － ＝　　　　. 答案：－2tan α 解析：原式＝ －＝ －＝－. 因为α是第三象限角，所以cos α＜0. 所以原式＝－＝－2tan α. 7.若sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为　　　　. 答案：2 解析：tan α＋＝＋＝. 又sin α＋cos α＝， 所以(sin α＋cos α)2＝2，sin αcos α＝， 所以tan α＋＝2. 8.已知tan α＝2，则＝　　　　. 答案：－ 解析：将式子的分子分母同除以cos α，化简＝， 又tan α＝2，所以原式＝＝－. 9.(10分)求证：＋(1＋tan2α)cos2α＝2. 证明：左边＝＋cos2α＝＋·cos2α＝1＋1＝2＝右边. 10.(10分)已知2cos2 α＋3cos αsin α－3sin2 α＝1，α∈.求：(1)tan α； (2). 解：(1)2cos2 α＋3cos αsin α－3sin2 α ＝ ＝＝1， 即4tan2 α－3tan α－1＝0， 解得tan α＝－或tan α＝1. 因为α∈， 所以α为第二象限角，所以tan α＜0， 所以tan α＝－. (2)因为tan α＝－， 所以原式＝＝ ＝＝. 11.(5分)已知0＜α＜，若cos α－sin α＝－，则的值为　　　　. 答案： 解析：因为cos α－sin α＝－，　　① 所以1－2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝.所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝. 又0＜α＜，所以sin α＋cos α＞0. 所以sin α＋cos α＝.　　　　② 由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2， 所以＝. 12.(15分)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈. (1)求＋的值； (2)求实数m的值； (3)求sin θ，cos θ及θ的值. 解：(1)由题意，得 所以＋＝＋＝ ＝sin θ＋cos θ＝. (2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝， 将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝， 由(1)，知＝，所以m＝. (3)由(2)，可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝， 所以 又θ∈，所以θ＝. 学生用书⬇第124页 学科网（北京）股份有限公司 $