4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 章前导读 考古学中，经常是利用放射性物质的衰减检验出土文物的年限。 例如，我国的浙江杭州市余杭区良储和瓶窑镇在1936年首次发现巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝何多出高等级建筑。 考古学家利用遗址中的碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年-前2300年。 你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗? 实际上，考古学家所用的数学知识是我们本章所学的指数函数。指数函数在解决实际问题中有广泛的应用。例如，在自然条件下，细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数模型进行刻画他们的变化规律。 4.1.1 n次方根与分数指数幂 第四章 指数函数与对数函数 一 二 三 学习目标 了解n次方根与分数指数幂的概念 理解n次方根与分数指数幂的性质 掌握分数指数幂与根式的互化 学习目标 新课导入 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。 初中，我们已经学习了整数指数幂 在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作. 像这样的以分数为指数的幂，其意义是什么？ 下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究。 新知探究 问题1 什么是n次方根？ 我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ① (±2)2＝４，则称±２为４的　　　； ② 23=8，则称２为8的　　　　； 平方根 立方根 类似地，由于(±2)4=16，所以±2叫做16的 ； 由于 25=32，所以2叫做32的 . 4次方根 5次方根 定义1：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*. 新知探究 问题2 什么是方根的性质？ 【1】 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示. 【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数. 正的n次方根用 表示，负的n次方根用表示. 【3】 负数没有偶次方根. 【4】 0的任何次方根都是0.记作： 两者也可以合并成 (a>0).例如 新知探究 问题3 什么是根式？ 定义2：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 根指数 被开方数 【1】 一般读作“n次根号a” 【2】 当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义. 【3】 当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a. 说明： 新知探究 问题4 分别等于什么？一般地 等于什么？ 根据n次方根的意义，可得 问题5 表示的n次方根，一定成立吗？ 结论:an开奇次方根,则有 结论:an开偶次方根,则有 不一定 归纳小结 根式的性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n= a. ⑵当n为奇数时， =a； 　当n为偶数时， =|a|= . 反思 和有什么区别？ 典例解析 例1 求下列各式的值： (1) ；(2) ；(3) ；(4) . 解：（1） （2） （3） （4） 注意符号 新知探究 问题6（1）观察以下式子,你总结出什么规律呢？(a > 0) 结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式. 新知探究 问题6（2）利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 结论：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以表示为分数指数幂的形式. 概念生成 分数指数幂 （a>0，m、n∈N*,n>1） 被开方数的指数 根指数 规定，正数的正分数指数幂的意义是： 规定，正数的负分数指数幂的意义是： （a>0，m、n∈N*,n>1） 规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义. 追问1： 可以理解为 个a相乘吗？ 新知探究 不可以！ 追问2：分数指数幂能约分吗？ 不可以！ 结论：①分数指数幂是根式的另一种表示,分数指数幂与根式可以互化. ②分数指数幂不可随意约分.约分之后可能会改变根式有意义的条件. 规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数． 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用. 概念生成 对于任意有理数r,s均有下面的运算性质 有理数指数幂的运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方，等于积的每一个因式分别乘