4.1.1 n次方根与根式-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“n次方根与根式”核心知识点，承接初中平方根、立方根基础，通过定义、性质的分层梳理，构建从具体到抽象的学习支架，为后续指数函数学习奠定概念基础。 采用“逐点理清”设计，微点助解揭示乘方与开方互逆本质，微点练明强化偶次方根符号辨析，典例变式培养分类讨论思维。体现数学眼光的抽象能力、数学思维的推理意识，课中助力教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺。

指数函数与对数函数 4.1　指　数 第1课时　n次方根与根式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 理解n次方根、根式的概念,明确正数的偶次方根有两个,偶次根式下被开方数必须非负. 逐点清(一)　n次方根 [多维理解] 　　n次方根的定义与性质 定义 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N* 性质 当n为奇数时,任意实数a都有n次方根,且只有一个,记作 当n为偶数时,正数的偶次方根有两个,且是相反数,记作±.负数没有偶次方根,零的偶次方根为0 正数a的正n次方根叫做a的n次算术根(n∈N*,n>1) |微|点|助|解| (1)在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数的n次方等于a. (2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广. (3)n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算. [微点练明] 1.(多选)若xn=a(x≠0),则下列说法正确的是 (　 ) A.当n为奇数时,x的n次方根为a B.当n为奇数时,a的n次方根为x C.当n为偶数时,x的n次方根为±a D.当n为偶数时,a的n次方根为±x 解析:选BD　当n为奇数时,a的n次方根只有1个,为x;当n为偶数时,由于(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x.所以B、D的说法是正确的,故选BD. 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| 解析:选BD　负数的3次方根是一个负数,=-3,故A错误;16的4次方根有两个,为±2,故B正确;=3,故C错误;是非负数,所以=|x+y|,故D正确. 逐点清(二)　根　式 [多维理解] 　　根式的定义与性质 定义 式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数 性质 (1) = (2)()n=a(n∈N*,且n>1) |微|点|助|解| 　　根式符号的注意点 (1)n>1,且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时,对任意的实数a都有意义,它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根,从而有()n=a. (3)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义;(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,a的另一个n次方根是-,从而有(±)n=a. (4)式子对任意a∈R都有意义. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)()5=-2. (　 ) (2)()4=-2. (　 ) (3)()4=2. (　 ) (4)=-5. (　 ) (5)()n总有意义. (　 ) (6) 总有意义. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√ 2.已知xy≠0,且=-2xy,则以下结论正确的是 (　 ) A.xy<0 B.xy>0 C.x>0,y>0 D.x<0,y<0 解析:选A　由=|2xy|=-2xy,xy≠0知xy<0.所以x,y异号,A正确. 3.若x≠0,则|x|-+的值为 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选C　因为x≠0,所以|x|-+=|x|-|x|+=1. 4.若=,则实数a的取值范围是 (　 ) A.R B. C. D.不存在 解析:选B　=|3a-1|,=1-3a.因为|3a-1|=1-3a,故3a-1≤0,所以a≤. 逐点清(三)　根式的化简与求值 [典例]　已知-3<x<3,求-的值. 解:原式=-=|x-1|-|x+3|, ∵-3<x<3, ∴当-3<x<1时, 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2; 当1≤x<3时, 原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= 　　[变式拓展] 若将本例中“-3<x<3”变为“x≤-3”,则结果又是什么? 解:原式=- =|x-1|-|x+3|. ∵x≤-3, ∴x-1<0,x+3≤0, ∴原式=-(x-1)+(x+3)=4. |思|维|建|模| 化简根式的注意点 (1)在根式计算中,含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0,而中a可以是任何实数. (2)对于形如(m>0,n>0)的双重根式,当满足a>b>0,a+b=m,ab=n时,有=±. 　　[针对训练] 化简下列各式: (1);(2)+; (3)(a≤1);(4)+. 解:(1)=-2. (2)+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0. (3)∵a≤1, ∴=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. (4)+=a+|1-a|= [课时检测] 1.若a是实数,则下列式子可能没有意义的是 (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　当a<0时,a的偶次方根无意义. 2.若正数x,y满足x3=8,y4=81,则x+y= (　 ) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:选C　因为正数x,y满足x3=8,y4=81,所以x==2,y==3,所以x+y=2+3=5. 3.若m3=64,则= (　 ) A.±8 B.8 C.4 D.2 解析:选D　因为m3=64,所以m=4.则==2,故选D. 4.若m=,n=,则m+n的值为 (　 ) A.-7 B.-1 C.1 D.7 解析:选C　m+n=|π-3|+|π-4|=π-3+4-π=1. 5.化简 等于 (　 ) A.π-π-1 B.π-1-π C.π+π-1 D.0 解析:选A　 == ==|π-1-π|=π-π-1. 6.当a>0时, 等于 (　 ) A.x B.x C.-x D.-x 解析:选C　由题设得-ax3≥0,因为a>0,所以x≤0.故=-x.故选C. 7.已知a,b∈R,下列各式总能成立的有 (　 ) A.(-)6=a-b B.=a2+b2 C.-=a-b D.=a+b 解析:选B　A显然错误;B中,∵a2+b2≥0,∴B一定成立;C和D中,∵a,b∈R,∴=|a|,=|b|,=|a+b|,故C和D错误. 8.若+=3,则的值为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选A　因为+=3,a>0, 所以=9,a+=7, 即==. 9.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简-|b+c-a|的结果为 (　 ) A.2(b+c)-2a B.2(b+a)-2c C.2a D.0 解析:选D　原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|=(b+c-a)-(b+c-a)=0. 10.(5分)当x<0时,x++=　　　　.  解析:原式=x+|x|+=x-x+1=1. 答案:1 11.(5分)若x>3,则-|2-x|=　　　　.  解析:∵x>3,∴-|2-x|=-|2-x|=|x-3|-|2-x|=x-3-(x-2)=-1. 答案:-1 12.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+0.1的图象如图所示,则=　　　　.  解析:由题图知f(-1)=a-b+0.1<0,∴a-b<0,∴=|a-b|=-(a-b)=b-a. 答案:b-a 13.(10分)设f(x)=,若0<a≤1,求f. 解:f====, 因为0<a≤1,所以a≤, 故f=-a. 14.(10分)已知f(x)=,a是大于0的常数, (1)求f;(2分) (2)探求f(x)+f(1-x)的值;(4分) (3)利用(2)的结论求f+f+…+f的值.(4分) 解:(1)f==. (2)由f(x)=,得f(1-x)===,故有f(x)+f(1-x)=1. (3)由(2)知,f+f+…+f =++…+=1×50=50. 学科网（北京）股份有限公司 $