1.3.1单调性与最大（小）值教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版必修1

一、课题 1.3.1单调性与最大（小）值 二、教学目标 1、知识与技能目标 （1）理解函数单调性以及单调区间的定义,掌握用定义法证明函数的单调性,掌握求最大、小值的方法． （2）启发学生发现与提出问题,培养学生分析问题,解决问题的能力． （3）通过观察-猜想-推理-证明的重要思想,培养学生推理论证能力． 2、过程与方法目标 （1）在学习函数单调性的过程中,培养学生运用数形结合的数学方法． （2）在探索函数单调性证明的过程中,提高学生推理论证的能力． 3、情感态度与价值观目标 通过一系列的数学活动,培养学生归纳总结能力,类比推理,数形结合的能力． 三、教学重点 1、函数单调性及单调区间的定义； 2、用定义法证明函数单调性； 3、利用函数单调性求函数的最大(小)值． 四、教学难点 1、用定义法证明函数的单调性； 2、利用函数的单调性求最大(小)值． 五、教辅手段 PPT 六、教学过程 1、情景设置 北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜举办大型国际体育赛事. 下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图, (1)观察这个气温变化图,说出气温在这一天内的变化情况. (2)怎样用数学语言来刻画在这一天内“随着时间的增大, 气温逐渐升高或下降”这一特征? 2、 新知探究1:函数的单调性和判定方法 问题1:大家一起来观察函数图像中值与值的变化过程,与之间有什么样的联系呢? 总结:这种随值的增大,的值也越来越大的函数,称为增函数,类似地,观察函数的图像,这种随值的增大,的值越来越小的函数,称为减函数, 实施方案:通过一个生活背景的实例与函数图像的直观观察,得到了增减函数的生活语言的描述性定义,引导学生对函数单调性的概念进行了第一次归纳—由实际背景转化为文字语言的叙述. 问题2:那么,函数究竟是增函数还是减函数呢? 预设1:是增函数 预设2:是减函数 预设3:有时增有时减,要分情况考虑. 问题3:好的,有同学说要分情况考虑,那么,大家仔细看看函数的图像,哪种情况下增,哪种情况下减呢? 预设:在区间上为减函数, 在区间上为增函数. 总结:由上面的讨论可知:函数的单调性与自变量的取值范围有关,一个函数并不一定在整个定义域内是单调函数,但在定义域内的某个区间上可以是单调函数.于是我们这样那个下定义: 如果函数在某个区间上满足:随着值的增大,的值也越来越大,我们说函数 在这个区间上为增函数,且该区间称为函数的单调增区间,如果函数在某个区间上满足:随着值的增大,的值越来越小,我们说函数 在这个区间上为减函数,且该区间称为函数的单调减区间. 实施方案:通过分情况讨论,使学生意识到函数的单调性与其定义域密切相关,让学生在说明函数单调性时,要说清楚在什么范围内,这一阶段是对函数的单调性进行了第二次归纳—由一般的文字语言转化为数学文字语言. 问题4:刚才我们通过观察图像,得出了函数在区间上为增函数,那么,我们如何用代数方法证明这个结论呢? 预设1:因为,而,所以函数在区间上为增函数. 预设2:不对,仅仅两个数的大小关系,不能说明函数在区间上为增函数.应该举出无数个. 预设3:这还是不对吧!比如函数在区间上也能取下无数个数,满足随着值的增大,的值也越来越大,那这样的话在区间上为增函数,但是这与图像矛盾啊！ 所以无数个不能代表所有,就比如2,3,4,5,…由无数个自然数比大,但并不是所有的自然数都比大.大家想想看,我们国家召开全国人民代表大会的时候,并不是所有的人民都去参加对不对？我们是通过人民代表参加的,所以，针对这个问题,我们是不是也可以在区间上选取两个代表呢? 问题5:那该怎么选代表呢?选1和2可以吗? 预设1:不行,因为1和2仅仅代表他们自己,不能代表所有的数,应该用字母来代替具体数字,比如在区间上任取两个任意实数,当时,证明即可.所以 总结:刚才的证明,关键是选取了代表了区间上的所有实数. 所以,我们再次给增函数和减函数的定义: 对于函数,如果对其定义域内的某个区间上的任意两个自变量 ,当时,有,我们就说这个函数在区间上为增函数,当时,有,我们就说这个函数在区间上为减函数, 实施方案:这一阶段是学生概念形成的关键过程,通过任意选取的自变量 来判断的大小关系,实际上,这是对函数单调性概念的第三次归 纳—由数学文字语言转化为数学符号语言. 问题6:我们来比较一下增函数与减函数定义中,两个不等式中不等号的方向,你有什么发现吗? (1)如果将增函数中的＂当时，都有＂ 改为＂当时，都有＂，是否结论相同． (2) 如果改为＂当时，都有＂， 是否结论相同． (3) 如果改为＂当时，都有＂， 是否结论相同． 将减函数也这样修改,结论是否相同. 发现：如果对于定义