第八章 章末总结　(八)函数应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

章末总结　(八)函数应用 ► 对应学生用书P181 　高频考点聚焦 考点一　函数的零点与方程的根的关系及应用 函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性． 例1.已知函数f(x)＝1－(a>0，a≠1)且f(0)＝0. (1)求a的值； (2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围； (3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)对于函数f(x)＝1－(a>0，a≠1)，由f(0)＝1－＝0， 解得a＝2，故f(x)＝1－＝1－. (2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点， 则函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，∴1－k>0，解得k<1. (3)∵当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－>m·2x－2恒成立． 令t＝2x，则t∈(1，2)，且m<－＝＝＋.由于＋在(1，2)上单调递减，∴＋>＋＝， ∴m≤.即m∈. 【练一练】 1．已知函数f(x)＝log4(22x＋1＋1). (1)求函数n(x)＝的定义域； (2)若关于x的方程2f(x)＝x＋1－4m在[－2，3]上有两个实数根，求实数m的取值范围． 解：(1)依题意，n(x)＝，故log4(22x＋1＋1)－2≥0， 则22x＋1＋1≥16，则22x＋1≥15， 则2x＋1≥log215，故x≥log2， 即函数n(x)的定义域为； (2)依题意，2f(x)＝x＋1－4m，故log4(22x＋1＋1)－＝－2m； 令g(x)＝log4(22x＋1＋1)－＝log4(22x＋1＋1)－log42x＋1＝log4(2x＋)； 令2x＝t，因为x∈[－2，3]，故t∈，故2x＋＝t＋＝h(t)， 因为t＋≥2＝，当且仅当t＝，即t＝时等号成立；而h＝，h(8)＝，故log4<－2m≤log4，即<－2m≤log49－1，即－log43≤m<－， 即实数m的取值范围为. 考点二　函数的实际应用 本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0).解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题． 例2.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg. (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上，才有疗效；而低于500 mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过几个小时(精确到0.1)? (参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1) 解：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)， 即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x. (2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上，才有疗效；而低于500 mg，病人就有危险， 令2 500×0.8x≥500， ∴0.8x≥0.2， ∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调减函数， ∴x≤7.2， 所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时． 【练一练】 2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量).过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了. (1)求函数关系式p(t)； (2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3) 解：(1)根据题意，得p0＝p0e－k， ∴e－k＝，∴p(t)＝p0. (2)由p(t)＝p0≤p0， 得≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30. 因此，至少还需过滤30个小时． 　阶段过关检测(八) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)