第八章 8．1．1　函数的零点-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

8．1　二分法与求方程近似解 ► 对应学生用书P165 8．1.1　函数的零点 [课程标准]　1.理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．　2.会求函数的零点．　3.掌握函数零点的存在定理并会判断函数零点的个数． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、函数的零点 1．函数的零点 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． 记一记：(1)函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0). (2)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)如果方程f(x)＝0有两个相等的实数解x，那么x叫做函数y＝f(x)的二重零点，如2就是函数f(x)＝(x－2)2的二重零点． 二、函数零点存在定理 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． 想一想：根据函数零点存在定理能判断出零点个数吗？ 提示：零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． 记一记：(1)零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0. (2)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 【基点小试】 1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　) A．； B．； C．；－ D．；－ 答案：B 2．(2023·江苏南京师大附中高一期末)设m为实数，已知函数f(x)＝x2＋mx＋5的两个零点在区间(0，＋∞)内，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选B.根据题意不妨设函数f(x)＝x2＋mx＋5的两个零点为x1，x2，要满足题意，则Δ＝m2－20>0，x1＋x2＝－m>0，x1x2＝5>0，解得m<－2. 3．f(x)＝log2x＋x－7的零点所在区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析：选D.f(x)＝log2x＋x－7在定义域(0，＋∞)上是单调增函数， f(1)＝log21－6＝－6<0，f(2)＝log22－5＝－4<0，故函数f(x)在(1，2)不存在零点； f(3)＝log23－4<0，f(2)<0，故函数f(x)在(2，3)不存在零点； f(3)<0，f(4)＝log24－3＝－1<0，故函数f(x)在(3，4)不存在零点； f(5)＝log25－2>log24－2＝0，f(4)<0，故函数f(x)在(4，5)存在零点； 故选D. 4．若函数f(x)的图象在R上连续不间断，且f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，则下列说法正确的是(　　) A．函数在区间(1，2)上有且只有1个零点 B．函数在区间(2，3)上一定没有零点 C．函数在区间(1，3)上一定有零点 D．函数在区间(2，3)上一定有零点 解析：选C.因为函数f(x)的图象在R上连续不间断，且f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0， 则f(1)·f(2)<0，f(1)·f(3)<0， 故函数f(x)在区间(1，2)上至少有一个零点，A错； 函数f(x)在区间(2，3)上可能有零点，也可能无零点，BD错； 函数f(x)在区间(1，3)上一定有零点，C对． 故选C. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　求函数的零点 例1.求下列函数的零点： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝－x2－x＋20； (3)f(x)＝x4－1. 解：(1)定义域为(0，3)∪(3，＋∞)，令f(x)＝0，即＝0， 即x－1＝0或ln x＝0，所以x＝1， 故函数f(x)的零点为1. (2)f(x)＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20) ＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的两根为－