第七章 7．2．1　任意角的三角函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

7．2　三角函数概念 ► 对应学生用书P130 7．2.1　任意角的三角函数 [课程标准]　1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义．　2.能利用定义解决相关问题． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，它的终边与圆交于点P(x，y)，r＝ 定义 正弦函数 把比值叫做α的正弦，记作sin α 余弦函数 把比值叫做α的余弦，记作cos α 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 想一想：角α的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P.当α＝时，点P的坐标是什么？当α＝或 时，点P的坐标又是什么？ 提示：当α＝时，点P的坐标为(，). 　当α＝时，点P的坐标为(0，1). 　当α＝时，点P的坐标为(－，). 二、三角函数值的符号 三角函数值在各象限的符号：在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． [温馨提示]　正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 想一想：请根据三角函数的定义确定三角函数值在各象限的符号吗？ 提示： 三、三角函数线 1．有向线段的概念 规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． 2．有向线段的数量 把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB. 3．三角函数 有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正弦线． 【基点小试】 1．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限． 2．角和角有相同的(　　) A．正弦线 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 解析：选C.在同一坐标系内作出角和角的三角函数线(图略)可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等． 3．若∠α＝，则正弦值为______，余弦值为_______，正切值为__________． 解析：角的终边与单位圆交点为(－，－)，∴sin ＝－， cos ＝－，tan ＝. 答案：－　－　 4．已知角α的终边与单位圆的交点为P(，－)，则tan α＝________． 解析：tan α＝＝－. 答案：－ 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　三角函数的定义及应用 例1.(1)如果角α的终边经过点P(－，)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． (2)已知角θ的终边上有一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________________． 解析：(1)由题意知r＝|OP|＝ ＝1， 所以sin α＝＝＝， cos α＝＝－＝－， tan α＝＝＝－. (2)因为r＝，cos θ＝，所以x＝ . 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3＞0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3. 则sin θ＋tan θ＝. 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3， 则sin θ＋tan θ＝. 答案：(1)　－　－　(2)或 【练一练】 1．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值． 解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)， 则解得即P(，)， 所以sin α＝y＝，cos α＝x＝. 2．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，求sin α的值． 解：由题意可得：|OP|＝ ＝|m|. 当m＞0时，|OP|＝m， 则sin α＝＝. 当m＜0时，|OP|＝|m|＝－m， 则sin α＝＝－. 题型二　三角函数值符号问题 例2.(1) 若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 解析：选B.三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β＜0，所以sin α＞0，cos β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝