第七章 章末总结　(七)三角函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

章末总结　(七)三角函数 ► 对应学生用书P162 　高频考点聚焦 考点一　任意角的三角函数概念 任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障．在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及三角函数的关的证明问题． 例1.(1)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________． (2)函数y＝＋的定义域是________． 解析：(1)r＝|OP|＝＝5|m|. 当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，∴2sin α＋cos α＝. 当m<0时，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，∴2sin α＋cos α＝－. 故2sin α＋cos α的值是或－. (2)由得 如图，结合三角函数线知： 解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函数的定义域为(x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z). 答案：(1)或－　(2){x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z)} 【练一练】 1．若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)， 则r＝＝＝|k|. 当k>0时，r＝k. ∴sin α＝＝－，＝＝. ∴10sin α＋＝－3＋3＝0. 当k<0时，r＝－k. ∴sin α＝＝，＝＝－. ∴10sin α＋＝3－3＝0. 综上，10sin α＋＝0. 考点二　同角三角函数的基本关系与诱导公式 同角三角函数的基本关系和诱导公式主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式． 常与方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主． 例2.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求： (1) ＋； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 解：由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝. (1)原式＝＋＝＋＝－＝sin θ＋cos θ＝. (2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，把sin θcos θ＝代入得1＋2×＝1＋，∴m＝. (3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0， 得两根为和. ∴或 ∵θ∈(0，2π)， ∴θ＝或. 【练一练】 2．已知sin θ＋cos θ＝，θ(0，π)，求下列各式的值． (1)tan θ； (2)sin θ－cos θ； (3). 解：(1)∵sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝， ∴sin θcos θ＝－<0， ∴sin θ>0，cos θ<0. 由sin θ＋cos θ＝， sin2θ＋cos2θ＝1，整理可得25sin2θ－5sinθ－12＝0， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， ∴sin θ＝，cos θ＝－，∴tan θ＝－. (2)sin θ－cos θ＝ ＝ ＝ ＝. (3) ＝ ＝ ＝ . 考点三　三角函数的图象与性质 1．三角函数的周期性：函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为. 2．三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋B的形式． 3．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x，cos x的有界性． (2)从y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 4．求三角函数的单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调