第七章 7．3．3　函数y＝A sin (ωx＋φ)-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ) ► 对应学生用书P155 [课程标准]　1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义．　2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤 记一记：1.参数 A, ω， φ 使函数y＝sin x的图象变换为函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，分别叫做振幅变换，周期变换和相位变换． 2．左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移． 3．|A|的大小反映了曲线y＝A sin (ωx＋φ)波动幅度的大小． 若A＞0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A. 二、五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 1．利用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．取值时，需令ωx＋φ＝0，，π，，2π，才能得到五个特征点，即两个最值点和三个零点． 【基点小试】 1．(多选)函数y＝3sin 的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到(　　) A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍 B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的3倍 C．横坐标缩短到原来的倍，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D．横坐标缩短到原来的倍，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 解析：选BD.法一　先平移后伸缩 法二　先伸缩后平移 y＝sin ＝sin y＝3sin ， 故BD正确． 2．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析：选C.将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin 的图象． 3．为了得到y＝sin 的图象只需将函数y＝cos x的图象________________________而得到． 解析：y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos，只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin 的图象． 答案：向右平移个单位长度 4．利用“五点法”作函数y＝sin 2x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标为____________________． 答案：0，，，，π 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)图象 例1.用“五点法”作出函数y＝2sin (＋)的图象． 解：令t＝＋，列表如下： x － t 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象： [总结] 　用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表． ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 【练一练】 1．用五点法作出函数y＝2sin 的图象，并指出函数的单调区间． 解：(1)列表： x － 2x＋ 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 (2)描点． (3)连线．用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内图象，然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象． 可见在一个周期内，函数在上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为(k∈Z). 同理，递增区间为(k∈Z). 题型二　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换 例2.指出将y＝sin x的图象变换为y＝sin 的图象的两种方法． 解：法一(先伸缩后平移)　y＝sin x y＝sin ＝sin . 法二(先平移后伸缩)　y＝sin x y＝sin . [总结] 　由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条： (1)y＝sin xy＝sin (x＋φ) y＝sin (ωx＋φ)y＝A sin (ωx＋φ). (2)y＝sin xy＝sin ωx