第七章 7．3．1　三角函数的周期性-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

7．3　三角函数的图象和性质 ► 对应学生用书P141 7．3.1　三角函数的周期性 [课程标准]　1.理解周期函数的定义．　2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．　3.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)以及y＝A tan (ωx＋φ)的周期． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 1．周期函数的定义 (1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期) (3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π. 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝．函数y＝A tan (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期为. 【基点小试】 1．函数y＝sin 的周期是________. 解析：T＝＝2. 答案：2 2．函数y＝2cos 的周期是________. 解析：T＝. 答案： 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　求三角函数的周期 例1.求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝2sin ； (2)f(x)＝2tan ； (3)y＝|sin x|； (4)f(x)＝－2cos (a≠0). 解：(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π. (2)T＝＝，∴最小正周期为. (3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π. 验证：∵|sin (x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π. (4)T＝＝，∴最小正周期为. [总结] 　利用公式求y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝. 【练一练】 1．求下列函数的最小正周期． (1)f(x)＝－2cos ； (2)f(x)＝tan ； (3)f(x)＝|cos x|； (4)f(x)＝3sin . 解：(1)T＝＝，∴函数最小正周期为. (2)T＝，∴函数y＝tan 的最小正周期为. (3)T＝π，∴y＝|cos x|的最小正周期为π. (4)T＝＝8π，∴y＝3sin 的最小正周期为8π. 题型二　周期性的应用 例2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值． 解：∵f(x)的最小正周期是π. ∴f＝f＝f. 又∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝f＝sin ＝， ∴f＝. 【母题探究】　1.(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值． 解：∵f(x)的最小正周期为π， ∴f＝f＝f， ∵f(x)是R上的奇函数， ∴f＝－f＝－sin ＝－， ∴f＝－. 2．(变结论)本例条件不变，求f的值． 解：∵f(x)的最小正周期为π， ∴f＝f＝f， ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f＝＝sin ＝. ∴f＝. [总结] 　函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解． 【练一练】 2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________． 解析：因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝f(－2)＝0， 所以f(6)＝f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6. 答案：－6 　高效导学第三步 课后集训巩固，提升综合素养 【基础巩固题组】 1．函数y＝3sin 的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选C.T＝＝π. 2．函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　) A．2π B．4π C． D．π 解析：选A.T＝＝2π. 3．函数f(x)＝cos 的周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选C.法一(定义法)　因为f(x)＝cos ＝cos ＝cos ＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)， 所以函数f(x)＝cos 的周期T＝π. 法二(公式法)　因为y＝cos ， 所以ω＝2.又T＝＝＝π. 所以函数f(x)＝cos 的周期T＝π. 4