第七章 7．2．2　同角三角函数关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

7．2.2　同角三角函数关系 ► 对应学生用书P133 [课程标准]　理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 描述方式 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 记一记：同角三角函数关系的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tanα＝的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝. 【基点小试】 1．下列四个结论中可能成立的是(　　) A．sin α＝且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α是第二象限角时，tan α＝－ 解析：选B.根据同角三角函数关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立． 2．已知cos α＝，且α是第四象限角，求sin α， tan α的值． 解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α＝1－＝. 又α是第四象限角，因此sinα<0，故sin α＝－， tan α＝＝×＝－. 3．已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 解：由＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝. 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则cos α＝， sin α＝； 若α是第三象限角，则cos α＝－， sin α＝－. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　利用同角关系求值 例1.(1)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． (2)已知tan α＝2. ①求的值； ②求2sin2α－sinαcos α＋cos2α的值． 解： (1)∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，∴sin α＝＝＝，tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，∴sin α＝－＝－＝－，tan α＝＝. (2)①法一(代入法)　∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α. ∴＝＝－. 法二(弦化切)　∵tan α＝2. ＝＝＝＝－. ②2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝ ＝＝＝. [总结]　已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． 【练一练】 1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.因为α为第四象限的角，故cos α＝＝＝，所以tan α＝＝＝－. 2. 若＝－1，则tan α＝______． 解析：原式可化为＝－1.则tan α＝2. 答案：2 题型二　利用同角关系化简 例2.化简下列各式：(1) ；(2). 解：(1)＝＝＝cos θ； (2) ＝ ＝ ＝＝1. [总结] 　三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 【练一练】 3．化简下列各式： (1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α； (2)＋ (180°＜α＜270°). 解：(1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1. (2)因为180°＜α＜270°，所以sinα＜0， 原式＝＋＝＋＝＝－. 题型三　利用同角关系证明 例3.求证：＝. 证明：法一　∵左边 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右边， ∴原等式成立． 法二　∵右边＝＝， 左边＝＝ ＝ ＝， ∴左边＝右边，原等式成立． 【练一练】 4．求证：＝. 证明：法一　右边 ＝ ＝ ＝ ＝＝＝左边，所以原等式成立． 法二　左边＝＝， 右边＝＝＝＝＝，所以原等式成立． 题型四　sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 例4.已知sin