第六章 6.1　幂函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

6．1　幂函数 ► 对应学生用书P98 [课程标准]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律． 2．了解幂函数． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 记一记：　对幂函数y＝xα概念的理解 (1)xα的系数为1. (2)xα的底数是自变量． (3)xα的指数为常数．只有同时满足这三个条件，才是幂函数，对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 记一记：如图： 在第一象限内，幂函数y＝xα在直线x＝1右侧的图象，自上而下指数α的值依次减小． 三、五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增， 在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 记一记：一般幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1). (2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 【基点小试】 1．下列所给的函数中是幂函数的为(　　) A．y＝2x5 B．y＝x3＋1 C．y＝x－3 D．y＝3x 解析：选C.由幂函数的定义知C正确． 2．(2023·江苏南通高一检测)若幂函数y＝xa，y＝xb在同一坐标系中的部分图象如图所示，则a、b的大小关系正确的是(　　) A．a>1>b B．b>1>a C．0>a>b D．0>b>a 解析：选A.y＝xa和y＝xb在上单调递增，所以a>0，b>0， 当x>1时，y＝xa图象在y＝x上方，所以a>1， 当x>1时，y＝xb图象在y＝x下方，所以b<1， 所以a>1>b. 3．幂函数是奇函数，且在(0，＋∞)是减函数，则整数a的值是(　　) A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 解析：选B.由于幂函数是奇函数，且在(0，＋∞)是减函数， 故a2－2a－3<0，且a2－2a－3是奇数，且a是整数， ∴－1<a<3，a∈Z， 当a＝0时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 当a＝1时，a2－2a－3＝－4，不是奇数； 当a＝2时，a2－2a－3＝－3，是奇数； 故a＝0或2. 4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则f(4)＝______． 解析：由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，所以f(4)＝4－＝. 答案： 5．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1，1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有________(填序号). 解析：根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误． 答案：① 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　幂函数的概念 例1.(1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x， ④y＝2，⑤y＝2x2，⑥y＝x－中，是幂函数的是(　　) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 解析：选C.幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数． (2)已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域． 解：∵为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，