双曲线讲义-2024届高三数学一轮复习

课题：双曲线 知识点 1.双曲线的第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的差等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫双曲线．这两定点叫做双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． 代数式形式：集合 2.双曲线的第二定义：若动点P（x,y）和定点F（c,0）的距离与它到定直线:的距离的比是常数（0<c<a）,则动点P的轨迹是双曲线． 3.双曲线的几何性质： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点 （±c,0） （0，±c） 焦距 |F1F2|＝2c（c2＝a2+b2） 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a[ 顶点 实轴顶点（±a,0），虚轴顶点（0，±b） 实轴顶点（0，±a），虚轴顶点（±b,0） 对称性 曲线关于x轴、y轴、原点对称 离心率 e＝∈（1，+），其中c＝ 渐近线 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0） 【注】 1．双曲线的标准方程中a、b（a＞0，b＞0）与椭圆标准方程中a，b的要求相似． 若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（1，）；渐近线斜率 0<k<1 或 -1<k<0 若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝ （等轴双曲线）；渐近线斜率k=1 若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞ 渐近线斜率k>1或 k<-1 2．在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率 －＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为＝ ＝ ＝．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 典型例题 例1双曲线的实轴长是（ ） A． B． C． D． 例2已知双曲线的渐近线方程为，且其焦点为,则双曲线的方程（ ） A. B. C. D. 例3若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 例4双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例5双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D．3 例6已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ） A． B． C． D．2 例7已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 例8已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 例9已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 例10已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 例11已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 例12已知双曲线C：的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 例13如图，双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且四边形为等腰梯形，，，则双曲线C的离心率为_____________. 例14已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于___________． 例15已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________． 例16直线与双曲线交于A、B两点，若，则______． 例17以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___________． 例18若过点P（0，1）作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，则直线l的方程为______． 举一反三 1．已知双曲线的两条渐近线为且过点，则双曲线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3．已知双曲线的一条渐近线方程为， ， 分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，