黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题

哈三中2023—2024学年度上学期 高三学年期中考试数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（共60分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（ ） A B. 2 C. D. 4. 如图，，都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，异面直线PG与DH所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若总存在实数t，使得函数有三个零点，则实数a取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. （二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体 B. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 C. 任意两条直线都可以确定一个平面 D. 空间中三条直线，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面 10. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 当时，向量在向量方向上投影向量为 D. 若或，则与夹角为钝角 11. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. 函数的图象关于点对称 D. 若函数在上没有零点，则 12. 定义在上的函数，满足为偶函数，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 偶函数 B. 图象关于点对称 C. 是以4为周期的周期函数 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13. 已知向量，，则______． 14. 函数的定义域为______． 15. 已知为虚数单位，且，则的最大值是______． 16. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，，E是AD的中点，设，. （1）试用，表示，； （2）若，与的夹角为，求. 18. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 19. 设向量 （I）若 （II）设函数 20. 在中，角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，，求的面积． 21. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设． （1）当时，求四边形ABCD的面积； （2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值． 22. 已知函数． （1）当时，求函数最小值； （2）若对于，不等式恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据，） 哈三中2023—2024学年度上学期 高三学年期中考试数学试卷 考试说明： （1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（共60分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案