河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023－2024学年上期高二年级期中考试 数学试卷 命题人：曹付祥 审核人：孙志明 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为空间的组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知直线：，：，若，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 0 3. 若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 给出下列命题： ①若A，B，C，D是空间任意四点，则有； ②是，共线的充要条件； ③若，则，共线； ④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中不正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A B. C D. 7. 已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（ ） A. 12， B. ， C. 12，8 D. 9， 二、多项选择题：本小题共4题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知点，且点在直线上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 最大值为 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上点到一个焦点的距离的最小值为 11. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（ ） A. PQ与EF一定不垂直 B. 平面PEF与平面EFQ夹角的正弦值是 C. 三角形PEF的面积是 D. 点P到平面QEF的距离是定值 12. 我国首先研制成功“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 射线所在直线的斜率为，则 B. 当时， C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D. 若点坐标为，直线与相切，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 过点且与直线l：垂直的直线方程为______.（请用一般式表示） 14. 方程化简后为______． 15. 如图，在棱长为2的正四面体中，平面，垂足为，为校的中点，则________． 16. 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率______. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤． 17. 已知，，，，，求： （1），，； （2）与夹角的余弦值. 18. 的四条边所在直线的方程分别是，，，，求的面积． 19. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点． （1）证明：． （2）若，求直线CE与平面所成角的正弦值． 20. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 21. 已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E. （1）求E的方程，并说明E是什么曲线； （2）过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：. 22. 在平面直角坐标系中，，，M为平面内的一个动点，且，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设动直线l：与曲线C有且只有一个公共点