精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题

北京交大附中2023-2024学年第一学期期中练习 高二数学 说明：本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟. 一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.） 1. 若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（ ） A. (-1，-2，3) B. (-1，-2，-3) C. (-1，2，-3) D. (1，2，3) 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 5. 设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 某停车场的停车收费标准如下表所示： 停车收费标准 小型车 大型车 白天 （7:00-19:00） 首小时内 2.5元/15分钟 5元/15分钟 首小时后 3.75元/15分钟 7.5元/15分钟 夜间（19:00（不含）-次日7:00） 1元/2小时 2元/2小时 注：白天停车收费以15分钟为1个计时单位，夜间停车收费以2小时为1个计时单位，满1个计时单位后方可收取停车费，不足1个计时单位的不收取费用. 李明驾驶家用小轿车于17:30进入该停车场，并于当天21:10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（ ） A. 13.5元 B. 18.5元 C. 20元 D. 27.5元 8. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ） （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； ②一尺等于十寸； ③） A. 6寸 B. 4寸 C. 3寸 D. 2寸 9. 如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，二面角的大小为.当增大时，（ ） A. 增大 B. 先增大后减小 C. 减小 D. 先减小后增大 10. 如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点使得平面： ③的最小值为； ④对每一个点E，在棱上总存在一点P，使得平面； ⑤M是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为 其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分） 11 已知向量，，，若，则______；若，，共面，则______. 12. 在边长为2的正方形中，E是的中点，则______. 13. 设动点P在正方体上（含内部），且，当为锐角时，写出实数的一个可能的取值______. 14. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，则异面直线与之间的距离为______. 15. 定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离. （1）在空间中到定点距离为的点围成的几何体的表面积为________； （2）在空间，定义边长为的正方形区域（包括边界以及内部的点）为，则到距离等于的点所围成的几何体的体积为________. 三、解答题 16. 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，M为AB中点． （1）求证：CM⊥平面ABB1A1； （2）求证：AC1∥平面CMB1． 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，F，G分别是，的中点，E是上一点，且. （1）求证：； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：；条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. 18. 已知函数． （1）若，求不等式解集； （2）若，求在区间上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求二面角的余弦值； （2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 如图1，矩形，，，点E为的中点，将沿直线折起至平面平面（如图2），点M在线段上，平面.