江西省宁冈中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题

宁冈中学2023-2024学年度高三上 期中数学 命题人： 审题人： 本卷考察范围： 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（    ） A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0） C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0） 3．从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　) A．85 B．56 C．49 D．28 4．已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．已知等比数列满足，则(　　) A．－20 B．－30 C．－40 D．－60 6．等差数列中，若，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与x轴交于，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段与C交于点M．若与C的焦距的比值为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量与向量的夹角是120° D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 10．已知等差数列，其前n项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．使的的最大值为 C．公差 D．当时最大 11．设抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，当运动到时，，下列结论正确的是（    ）． A．抛物线的方程为 B．抛物线的准线方程为 C．已知点，则的最小值为6 D．以为直径的圆与轴相切 12．已知函数，则（    ） A．有一个极值点 B．没有零点 C．直线是曲线的切线 D．曲线关于直线对称 三、填空题（共20分） 13．在等比数列中，若，，则数列的公比为 . 14．长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程为 ． 15．设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为 16．已知函数，，若，则的最小值为 . 四、解答题（共70分） 17．在正项等比数列中，，且，的等差中项为． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为． 18．某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表（单位：人） 优秀 良好 合格 男 180 70 20 女 120 a 30 按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人． （1）求a的值； （2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望． 19．如图，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 20．已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立. (1)若，，求； (2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值. 21．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：和椭圆：，其中，，，的离心率分别为，，且满足，，分别是椭圆的右、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）与椭圆相切的直线交椭圆与点，，求的最大值. 22．设函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有两个不等的零点，，求实数的取值范围； （3）求证：在（2）的条件下． 标准答案 1．B 解：因为，， 所以， 故选：. 2．B 根据题意，设点的坐标为，则 ，故直线为：，即， 故到直线上的距离为：， 又因为， 所以由 得， 解得或，即为或. 故选：B. 3．C 根据题意：，故选C. 4．B 由，则，即 则，所以 则 故选：B 5．B 由题意得，得，解得， 故 故选：B 6．C 解：依题意，由，得，即 所以 故选C 7．D 设双曲线的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为， 故其方程为：， 令，则，结合在轴正半轴上，故， 令，则或，故. 故，故直线. 设， 因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故， 而， 故，整理得到：， 故，故， 所以，故， 解得或，又因为，则， 则，. 故选：D.    8．C 因为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时是，等号成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以， 可得：当时，则，且，