第七章 7.2.2　同角三角函数关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．2．2　同角三角函数关系 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第一步 sin2α＋cos2α＝1 课堂互动探究，培优关键能力 高效导学第二步 [课程标准]　理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1， eq \f(sinx,cos x) ＝tan x. 描述方式 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 _______________________________ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 _______________________________ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 tanα＝ eq \f(sin α,cos α) (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z) 记一记：同角三角函数关系的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tanα＝ eq \f(sin α,cos α) 的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝ eq \f(sin α,tan α) . 【基点小试】 1．下列四个结论中可能成立的是(　　) A．sin α＝ eq \f(1,2) 且cos α＝ eq \f(1,2) B．sin α＝0且cos α＝－1 C．tan α＝1且cos α＝－1 D．α是第二象限角时，tan α＝－ eq \f(sin α,cos α) 解析：根据同角三角函数关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立． 答案：B 2．已知cos α＝ eq \f(4,5) ，且α是第四象限角，求sin α， tan α的值． 解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(9,25) . 又α是第四象限角，因此sinα<0，故sin α＝－ eq \f(3,5) ， tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) × eq \f(5,4) ＝－ eq \f(3,4) . 3．已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 解：由 eq \f(sin α,cos α) ＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝ eq \f(1,5) . 又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角． 若α是第一象限角，则cos α＝ eq \f(\r(5),5) ， sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ； 若α是第三象限角，则cos α＝－ eq \f(\r(5),5) ， sin α＝－ eq \f(2\r(5),5) . 题型一　利用同角关系求值 例1.(1)已知cos α＝－ eq \f(3,5) ，求sin α，tan α的值． (2)已知tan α＝2. ①求 eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) 的值； ②求2sin2α－sinαcos α＋cos2α的值． 解： (1)∵cos α＝－ eq \f(3,5) ＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，∴sin α＝ eq \r(1－cos2α) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(4,3) ； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，∴sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2)) ＝－ eq \f(4,5) ，tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(4,3) . (2)①法一(代入法)　∵tan α＝2，∴ eq \f(sin α,cos α) ＝2，∴sin α＝2cos α. ∴ eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(2cos α－3cos α,2cos α＋cos α) ＝－ eq \f(1,3) . 法二(弦化切)　∵tan α＝2. eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(\