精品解析：第一节 直线的方程 讲

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一．课标要求，准确定位 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式． 二．考情汇总，名师解读 1．考查已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识结合考查．两直线平行与垂直的应用是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)结合考查． 2．由直线上一点和斜率求直线方程或由斜率和截距求直线方程是高考的常考点，利用两点的坐标求直线的方程或利用截距式求直线的方程也是常考知识点，一般不单独考查，常与其他知识结合考查． 1．直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． （2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°． （3）范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π))． 2．直线的斜率 （1）定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα． 倾斜角等于90°的直线没有斜率． （2）过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． （3）直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)． 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量． 3．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0 4．直线方程的五种形式 名称 方程的形式 常数的几何意义 局限性 点斜 式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直线上一定点，k为斜率 不垂直于x轴(k存在) 斜截 式 y＝kx＋b k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例 不垂直于x轴(k存在) 两点 式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个定点 不垂直于x轴和y轴(x1≠x2，y1≠y2) 截距 式 ＋＝1 a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例 不垂直于x轴和y轴，且不过原点(ab≠0) 一般 式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) A，B，C为系数 任何位置的直线 特殊地，横截式x＝my＋n表示直线横截距为n，斜率不为零的直线． 【二级结论】 1． 直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 1．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程 （1）若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1； （2）若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1； （3）若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0； （4）若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即x轴，方程为y＝0． 2．过定点(x0，y0)直线系方程 过定点(x0，y0)的直线系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示为λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ，μ为参数)． 3． “截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论． 核心考点1 直线的倾斜角与斜率 1. 下列说法是错误的为（ ） A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B. 直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α C. 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 D. 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示． (2023·山西太原一中月考) 2. 若某直线经过A（，），B（1，）两点，则此直线的倾斜角为________. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 4. 若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　) A. (－2,1) B. (－1,2) C. (－∞，0) D. (－∞，－2)∪(1，＋∞) 核心