精品解析：第七章 立体几何与空间向量 第一节 第二课时 与球有关的切与接问题 讲

第一节 第二课时 与球有关的切与接问题 一.课标要求，准确定位 1.学会用构造法解决空间几何体与球相关的切接问题； 2.能理解并记忆部分好用的二级结论； 3.学会建立空间感，体会转化的思想. 二.考情汇总，名师解读 与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力.建议进行系统的理解与学习. 【二级结论】 1.正方体与球的内切、外接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R， （1）若球为正方体的外接球，则2R＝a； （2）若球为正方体内切球，则2R＝a； （3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 2.长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，其外接球的半径为R，则2R＝. 3.正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1（a为该正四面体的棱长）. 核心考点1外接球 1. 已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为， 锥体体积为6，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 核心考点2内切球 3. 圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1，母线PA的长度为2，半径为的球与的圆锥侧面相切，并与底面相切于点O，若球与球、圆锥的底面和侧面均相切，则球的表面积为______． 核心考点3多球 5. 半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，则两球半径之和为______． 考向一汉堡模型 （2023·重庆·统考模拟预测） 7. 已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________． 【类题通法】汉堡模型总结 考向二墙角模型 8. 很多人的童年都少不了折纸的乐趣，如今传统意义上的手工折纸已经与数学联系在一起，并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张矩形纸片，，为的中点，将和分别沿、翻折，使点与点重合于点，若，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 9. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为 C. 四棱锥体积最大值为 D. 四面体为“鳖臑” 【类题通法】墙角模型总结 考向三切瓜模型 10. 已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为______. 【类题通法】切瓜模型总结 考向四斗笠模型 （2023·云南昭通·校联考模拟预测） 11. 已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球内，则球的体积的最小值为（ ） A. B. C. D. （2023·贵州毕节·校考模拟预测） 12. 已知正四棱锥的各顶点都在球的球面上，，由三点确定的平面与侧棱交于点，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【类题通法】斗笠模型总结 考向五麻花模型 （2023·全国·模拟预测） 13. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，，，为球的球面上一动点，则点到平面的最大距离为（ ） A. B. C. D. （2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 14. 在三棱锥中，，．若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为______． 【类题通法】麻花模型总结 考向六怀表模型 （2023·山东泰安·统考模拟预测） 15. 腰长为的等腰的顶角为，且，将绕旋转至的位置得到三棱锥，当三棱锥体积最大时其外接球面积为（ ） A. B. C. D. 【类题通法】怀表模型总结 考向七矩形模型 （2023·海南·海南中学校考模拟预测） 16. 如图，三棱锥中，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【类题通法】矩形模型总结 考向八鳄鱼模型 17. 在三棱锥中，是边长为6的等边三角形，，三棱锥体积的最大值是__________；当二面角为时，三棱锥外接球的表面积是__________. 【