精品解析：第七章 立体几何与空间向量 第一节 第二课时 与球有关的切与接问题（核心考点集训）

第一节 第二课时 与球有关的切与接问题（核心考点集训） 1. 据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. (2023·江西“红色十校”高三联考) 2. 已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积最大值为2，则球O的半径为（ ） A. B. C. D. 3. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. （2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测） 4. 已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围_________． 5. 已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为___________． 6. 已知四棱锥各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ） A. B. C D. 7. 已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的高为 C. 圆台的表面积为 D. 球O的表面积为 （2023·广东韶关·统考模拟预测） 8. 将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______. 9. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是___________. 10. 古希腊伟大数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）.现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则_________；_________. 11. 在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. 3 D. 12. 已知一个正四面体棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________. 13. 如图，在中空的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆柱的底面与圆台的下底面重合．已知圆台的上底面半径与高均为40cm，下底面半径为10cm．现要在圆柱侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为______cm，这样最大半径的金属球最多可完全放入______个． 14. 如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球则球A的体积为________，圆柱的侧面积与球B的表面积之比为___________. 15. 已知三棱锥棱长均为，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球与三棱锥的三个侧面都相切，则球的半径为_________，球的体积为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一节 第二课时 与球有关的切与接问题（核心考点集训） 1. 据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用补形法还原为正方体问题，然后用公式求解. 【详解】如图，将三棱锥补形为正方体， 则外接球半径. 所以三棱锥外接球表面积. 故选：B. (2023·江西“红色十校”高三联考) 2. 已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积最大值为2，则球O的半径为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件及同弧所对圆心角与圆周角的关系，再利用勾股定理及棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设的外接圆圆心为，依题意可知为正三角形，所以圆的半径，设球O的半径为R，因为平面，所以，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的高等于，所以三棱锥，得，解得. 所以球O的半径为. 故选:D． 3. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥