精品解析：重难专攻(六) 平面向量的最值问题 讲

重难专攻（六） 平面向量的最值问题 平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活.如2023年全国乙卷理科12题，2023年天津真题1题，2020·新高考I卷 第7题. 1. 模长的范围及最值 与向量的模有关的问题， 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解. 2. 夹角的范围及最值：结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解. 3.平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系，运用基木不等式求其最值问题. （2）坐标法:根据题意建立适当直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解; （3）基底法:利用其底转化向量，根据向量运算律化简目标，运用适当数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何法:先确定向量所表达的点的轨迹，根据直线与曲线位置关系列式，解得结果. 【二级结论】 1．极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： 2.极化恒等式： 上面两式相减，得： ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． ②三角形模式：（M为BD的中点） 3．矩形大法 矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：． 【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy， 则，设，则 4．等和线 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然． （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线． ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 5．平行四边形大法 1、中线长定理 2、为空间中任意一点，由中线长定理得： 两式相减： 6．向量对角线定理 核心考点1 与数量积、向量的模、夹角相关的最值 1. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． （2023·山东·山东省实验中学校考一模） 2. 若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______． 3. 平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（ ） A. B. C. D. 核心考点2 与平面向量的基本定理相关的系数最值 4. 已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知是斜边上一动点，点满足，若，若点在边所在的直线上，则的值为__________；的最大值为__________. 6. △ABC中，D为AB上一点且满足，若P为CD线段上一点，且满足（，为正实数），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为3 核心考点3 平面向量与三角相结合的最值 7. 已知向量满足，则取值范围是________. （2023春·福建福州·高一校考期中） 8. 已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值________ （2023春·广东深圳·高一校考阶段练习） 9. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 核心考点4 以向量为情境的多元最值问题 10. 中，为边上的中点，动点在线段上移动时，若，则的最小值为______ 11. 在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________． （2017年高考数学课标Ⅲ卷理科） 12. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2 （2023·安徽滁州·校考模拟预测） 13. 已知，，则的最小值是______. （2023·河北·统考模拟预测） 14. 如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________． 15. 已知向量，满足，，则的最大值为______. （2023·安徽滁州·校考三模） 16. 已知平面向量，，满足