精品解析：重难专攻(六) 平面向量的最值问题 核心考点集训

重难专攻(六) 平面向量的最值问题 核心考点集训 1. 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 2 2. 平面四边形ABCD是边长为2菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______. （2023·浙江金华·统考一模） 3. 已知平面向量，，满足，，，则取值范围是___________. 4. 已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 5. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______． 6. 如图，菱形ABCD的边长为4，，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_____________． 7. 已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________. 8. 菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______． 9. 已知中，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. （2023春·湖北黄冈·高一校联考期中） 10. 正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB 为直径的半圆上任意点，，则（ ） A. 最大值为1 B. ·最大值8 C. 最大值为 D. 最大值 11. 如图，在四边形中，，且，若，则的最大值为_____________． （2023春·福建福州·高一校考期中） 12. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则______________；若面积为，则的最小值为______________． 13. 在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 14. 在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是______. 15. 已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________. 16. 在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难专攻(六) 平面向量的最值问题 核心考点集训 1. 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】有题意知，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，求出即可得出答案. 【详解】如图，设， 当时，取得最小值， 过作，即取得最小值为， 因为与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 2. 平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义，找到最值时点M的位置，用基底、表示、，再结合数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】如图所示， 根据数量积的几何意义知：当点M在C点时，在上的投影向量与同向，且长度最长， 所以此时最大， 因为，， 所以 ， 所以的最大值为. 故答案为： （2023·浙江金华·统考一模） 3. 已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，根据平面向量的加减运算，对条件进行转化，，可得，，可得，进而可得，即可得出结果. 【详解】 设，则， 取的中点， 则， ，又， ，， ，，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面向量的基本运算，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于难题. 4. 已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，将向量用坐标表示，根据题意计算即可. 【详解】由题意设， ， 由， ， 化简得恒成立，所以， ， ， ， 当且仅当且时取到等号； 故答案为： . 5. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_