精品解析：重难专攻(六) 平面向量的最值问题 A素养养成卷

重难专攻(六) 平面向量的最值问题 A素养养成卷 一．选择题. 1. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上两个动点，且，则的最小值为（ ） A. -2 B. 0 C. -3 D. -4 2. 在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 3. 设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　) A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 4. 已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是___________． 7. 设向量，，满足，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 二．多选题 （2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习） 8. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 的最大值为4 【福建省福州第一中学2023届高三模拟考试】 9. 已知非零向量，，满足：在方向上的投影向量为，，且，则下列选项正确的有（ ） A. 若与共线时，则 B. 若时，则与共线 C. 若，则 D. 若，则 【海南省海口市海南省农垦实验中学等2校2023届高三一模】 10. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ） A. B. C. 存在最小值 D. 的最大值为 三．填空题 （2023·江苏常州·高三统考期中） 11. 已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是______. 12. 如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为_______. 四．解答题 13. 已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示 （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）若，当y得最小值时，求点P的坐标及y的最小值． 14. 如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ） ①当时， ②当P是线段中点时，， ③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 ④的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 在四边形中，，，，则________；若E，F分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是________. 16. 已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________. 17. 已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）最小值，则的最大值是__________． 18. 如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，， ，则的最小值为_______， 最大值为_______. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难专攻(六) 平面向量的最值问题 A素养养成卷 一．选择题. 1. 在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为（ ） A. -2 B. 0 C. -3 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】设点，点，,可得，利用二次函数求最值即可. 详解】设点，点，，则，， ∴； 当时，的最小值为-3， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算、数量积及函数最值问题，属于中档题. 2. 在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，假设点坐标，然后得到，然后代入并结合基本不等式进行计算即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，，因为， 所以，，. 因为，所以，， 所以. 当且仅当，即，时取等号. 故选: B. 3. 设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　) A －3 B. －2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算可得：2m＋1＋2n＝1，再利用重要不等式求解即可. 【详解】解：由题意易知， ，其中＝(2m－1，1)， =, 所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得：2m＋1＋2n＝1. 2m＋1＋2n≥，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3， 故选A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，属基