精品解析：第四节 平面向量的综合应用(讲）

第四节 平面向量的综合应用（讲） 一、课标要求，准确定位 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、考情汇总，名师解读 平面向量有“数”与“形”双重身份，它沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解. 1.平面向量与平面几何综合的有关结论 结论1 若，为非零向量，则给出，等价于已知；给出，等价于已知钝角或两向量反向共线；给出，等价于已知是锐角或两向量同向共线. 结论2 给出，等价于已知是的平分线. 结论3 在中，给出，等价于已知是菱形；给出，等价于已知是矩形. 2.平面向量中的矩形大法 结论1 已知O为矩形ABCD所在平面内任意一点，则. 结论2 已知P为矩形ABCD所在平面内任意一点，则. 3平面四边形对角线向量定理及其相关结论 结论1 在平面四边形ABCD中，有. 结论2 在平面四边形ABCD中，若，则有. 结论3 在平面四边形ABCD中，有. 4.三角形面积公式的向量表示 平面上O，A，B三点不共线，设，，则的面积. 核心考点1 平面几何中的向量方法 1. 如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：. 2. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 核心考点2 平面向量在实际问题、物理问题中的应用 3. 渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度大小为，水流由西向东，速度大小为设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头A的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（ ） A. 在东侧 B. 在西侧 C. 恰好与重合 D. 无法确定 4. 已知一个物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且与的夹角为，则力所做的功______J． 核心考点3 平面向量在三角函数中应用 5. 已知向量，，，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 6. 在平面直角坐标系中，已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值. 核心考点4 平面向量在解三角形中的应用 7. 在△ABC中，下列正确的是（ ） A. 若，则△ABC为钝角三角形 B. 若，则△ABC为直角三角形 C. 若，则△ABC为等腰三角形 D. 已知，且，则△ABC为等边三角形 8. 在中，的对边分别为，已知向量，，且. （1）求的大小； （2）若点D为边AB上一点，且满足，求的面积. 9. 已知平行四边形ABCD，证明 10. 如图，四边形是正方形，是对角线上的一点（不包括端点），，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明：． 11. 如下图，正方形的边长为，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M，求的余弦值________． 【类题通法】向量与平面几何综合问题的解法 1.坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关的点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. 2.基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解. 12. 长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则________. 13. 若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态，已知，，与的夹角为45°，则的大小是；与夹角的大小为_______. 14. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，，则物体的重力大小为_________N. 【类题通法】平面向量在实际问题、物理问题中的应用问题的解题步骤： （2021·新高考Ⅰ卷）（多选） 15. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点． （1）若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求的最小值； （2）若，向量，求的最小值及对应的θ值． 【类题通法】平面向量与三角函数综合问题的解题思路 （1）若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关