精品解析：第四节 平面向量的综合应用 核心考点集训

第四节 平面向量的综合应用 核心考点集训 1. 若为所在平面内一点，且，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C 直角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 已知外接圆圆心O在上，则（ ） A. B. C D. 3. 在四边形中，，则该四边形的面积是__________. 4. 下图，直线与边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：. 5. 在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ） A. 北偏西， B. 北偏西， C. 北偏东， D. 北偏东， 6. 如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为________.（） 7. 如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为． （1）如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小； （2）如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小． 8. 已知向量，，记向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数.点A为函数在上的第一个最大值点.为坐标原点，平面内的动点满足，则的最小值为__________. 11. 如图是函数的部分图象，已知． （1）求； （2）若，求． 12. 已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【山东省济南市2023届高三三模】 13. 在中，若，则面积最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 14. 已知在中，角的对边分别为，向量，. （1）求角C大小； （2）若成等差数列，且，求c. 15. 如图，在中，，，，点在边的延长线上. （1）求的面积； （2）若，为线段上靠近的三等分点，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节 平面向量的综合应用 核心考点集训 1. 若为所在平面内一点，且，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，即，进而得到，得解. 【详解】因为＝， 所以， 即， 两边平方整理得， 所以，即为直角三角形. 故选：C. 2. 已知外接圆圆心O在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质可知为的中点，为外接圆的直径，根据平面向量线性运算法及平面向量数量积的运算律计算可得. 【详解】解：因为外接圆的圆心是三边中垂线的交点，所以为的中点，为外接圆的直径， 所以，，即与的夹角为，即，故A、C正确； 取的中点，连接，则、，所以 则，故B错误； 因为，，所以，故D错误； 故选：AC 3. 在四边形中，，则该四边形的面积是__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算，求得的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】由题意，向量， 因为，可得，解得， 所以四边形的面积为. 故答案为：10. 4. 下图，直线与的边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：. 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】根据图形易得，结合数量积可得，根据数量积定义代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解． 【详解】∵，则，即 又∵ ∴ 即 5. 在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ） A. 北偏西， B. 北偏西， C 北偏东， D. 北偏东， 【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，计算出船的航行速度以及船的行驶方向与正北方向间的夹角，由此可得出结论. 【详解】如图，船从点出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸， ，，则，则， 因为为锐角，故， 故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸. 故选：A. 6. 如图，已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为.一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为________.（） 【答案】， 【解析】 【分析】结合物理知识，求解力在水平方向及竖直方向的分量，进而得出摩擦力，利用做功公式即可求解. 【详解】由题可知，以木块运动的方向为正方向， 则力在水平方向的分量为：， 在竖直方向的分量为：， 则摩擦力：， 则力做功为,摩擦力做功. 故答案为：， 7. 如图，已知一