精品解析：第五节 复数【讲】

第一节复数 一.课标要求，准确定位 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数代数表示法的四则运算，了解复数加､减运算的几何意义. 二.考情汇总，名师解读 本考点是高考必考内容，属于中低档题目，主要以选择题或填空题的形式考查.命题的关注点在复数的乘法与除法运算.熟练掌握复数的基本运算法则，准确理解复数的相关概念是解决问题的关键. 1.复数的概念 概念 定义 复数 把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.复数通常用字母z表示，即z=a+bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C={a+bi|a，b∈R} 复数 相等 a+bi=c+di⇔a=c，b=d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z=a+bi 共轭 复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi（a，b∈R），那么=a-bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）对应的向量为，则向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=，其中a，b∈R.复数z=a+bi（a，b∈R）的模就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z（a，b）到坐标原点的距离 2.复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 3.复数的四则运算 （1）运算法则：设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），则 ①z1±z2=（a±c）+（b±d）i. ②z1z2=（ac-bd）+（ad+bc）i. ③=+i（z2≠0）. （2）复数加､减法的几何意义 加法 复数z1+z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减法 复数z1-z2是从向量终点指向向量的终点的向量所对应的复数 （3）复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1+z2=z2+z1 结合律 （z1+z2）+z3=z1+（z2+z3） （4）复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 （z1z2）z3=z1（z2z3） 分配律 z1（z2+z3）=z1z2+z1z3 【二级结论】 1.（1±i）2=±2i，=i，=-i. 2.i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，其中n∈N*；i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，其中n∈N*. 3.z=|z|2=||2，|z1z2|=|z1||z2|，=，|zn|=|z|n. 4.复数z的方程在复平面上表示的图形 （1）a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）|z-（a+bi）|=r（r>0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆. 核心考点1复数的概念 1. 下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 已知（），当时，复数为纯虚数 C. 复数（）的虚部为 D. 方程没有解 （教材改编题） 2. 若，则 ___________， ___________. （教材改编题） 3. 若复数是纯虚数，则实数m=____. （必修二P94T1改编） 4. 复数的共轭复数是___________. （2022·新高考Ⅱ卷） 5. （ ） A. B. C. D. （2023·广州二模） 6. 若复数是实数，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知i为虚数单位，复数模为___________. 8. =___________. （人A必二P95习题1） 9. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2023·湖北武汉质检） 10. 设复数满足，且在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 11. 在复平面内，向量对应复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. （2023·淄博模拟） 12. 若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 （2022·全国乙卷） 13. 已知，且，其中a，b为实数，则（ ） A. B. C.