精品解析：第三节 平面向量的数量积及应用（讲）

第三节 平面向量的数量积及应用(讲) 一.课标要求，准确定位 1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念及投影向量的意义． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，并能用坐标表示平面向量垂直的条件． 二．考情汇总，名师解读 本考点是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，主要是选择题或填空题，命题的重点是平面向量的夹角和模的求解问题以及平面向量的垂直问题． 1．向量数量积的定义 （1）向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． （2）向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. （3）向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．向量的投影 （1）定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． （2）计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 3．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 （1）a·e＝e·a＝|a|cos θ. （2）a⊥b⇔a·b＝0. （3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. （4）|a·b|≤|a||b|. 4．向量数量积运算的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 （1）a·b＝b·a； （2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 提醒：（1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/ b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））. 5．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 （1）a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；|a|＝. （2）a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. （3）|x1x2＋y1y2|≤. （4）设θ是a与b夹角，则cos θ＝＝. 【二级结论】 1．数量积的有关结论 （1）(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. （3）a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 （1）若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. （2）若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 核心考点1 平面向量数量积的基本运算 1. 下列说法错误的是（ ） A. 在等腰直角三角形ABC中，若A为直角，则的夹角为45°. B. 由可得或. C. 向量在向量上的投影向量是一个向量，而向量在向量上的投影是一个数量. D. 对于非零向量，， “”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件． 2. 在中，，，，则的值等于（ ） A. 20 B. C. D. (2022·全国乙卷) 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若，则_______，________. 5. 已知为单位向量，向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量是_________ 核心考点2 平面向量数量积应用 6. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. 与垂直 C. 与的夹角为 D. 7. 已知，则与所成的夹角大小是_______. (2021·全国甲卷) 8. 已知向量，若，则________. 核心考点3 数量积相关的最值、范围 9. 已知正方形的边长为1，点E是边上的动点，则的值为________；的最大值为________ ． 10. 若且与夹角为，那么实数 ______时，的值最小． 考向一 求数量积　 11. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 12. 已知向量，，，则______ . 13. 如图，已知等腰中，，，