精品解析：第二节 平面向量基本定理及坐标表示（讲）

第二节 平面向量基本定理及坐标表示（讲） 一.课标要求，准确定位 1．理解平面向量基本定理及其意义． 2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 4．能用坐标表示平面向量共线的条件． 二．考情汇总，名师解读 本考点是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，主要是选择题或填空题，命题的重点是平面向量共线的坐标表示．主要考查平面向量的坐标运算，根据给出点的坐标，求向量的坐标以及利用向量共线求参数的值或范围． 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标运算 ①平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)， ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)． ②向量模的坐标计算公式 如果向量a＝(x，y)，则|a|＝. ③向量坐标的求法 a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， 向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 3．平面向量基本定理的推论 (1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4. (2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (3)平面向量基本定理的推论： ①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t.特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点． ②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 【二级结论】 1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为． 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． 3. 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 核心考点1 平面向量基本定理的应用 1. （多选）判断下列命题是正确的是（ ） A. 若不共线，且，则 B. 若，则的充要条件是. C. 平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 D. 当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. D. 1 核心考点2 平面向量的坐标运算 4. （2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量 A. B. C. D. (必修二P30例5改编) 5. 已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为_____． 6. 已知点、，则与向量共线的单位向量是___________. 核心考点3 平面向量共线的坐标表示 7. 已知向量，则可能是（ ） A. B. C. D. (教材改编题) 8. 已知向量若，则x为________. 9. 已知点和向量，若，则实数________；若，则________. 考向一 定理的证明 1. 向量共线定理与平面向量基本定理证明． 2.证明：对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 考向二 利用基底表示平面向量 10. 已知向量，若存在实数，使得，则可以是（ ） A B. C. D. ) 11. O,A,B是平面上不共线三点，直线AB上有一点C，分别满足下列条件，以，为基底，表示： （1）C为AB中点； （2）； （3）. 12. 如图，以向量，为邻边作平行四边形，，，则＝_______.(用，表示) 【类题通法】求解“与两直线交点相关向量的分解”问题的方法 (1)待定系数法:先将相关向量用给定的基线性表示，然后将两个基向量进行两次不同的转化，使得转化后的