精品解析：第一节 平面向量的概念及线性运算（讲）

第一节 平面向量的概念及线性运算（讲） 一.课标要求，准确定位 1．了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素．掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义． 3．掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义． 4．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 二．考情汇总，名师解读 本考点是历年高考考频不高的部分，主要以选择题或者填空题的形式呈现，命题的重点是平面向量的线性运算问题．考查方向主要是平面图形中向量的线性运算，同时向量的线性运算也可能出现在三角函数或解析几何等试题中． 1．向量的有关概念 名称 定义 说明 向量 既有大小又有方向量叫做向量 平面向量是自由向量 有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 向量 的模 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作|| 向量的模是数量 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 零向量的方向任意的 单位 向量 长度等于1个单位长度向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量 平行向 量（共线 向量） 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行 相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0 2.向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律（性质） 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋（－b） 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则 λ（μa）＝μ（λa）； （λ＋μ）a＝λa＋μa； λ（a＋b）＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【二级结论】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2.三点共线的等价转化：A，P，B三点共线⇔＝λ（λ≠0）⇔＝（1－t）·＋t（O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R）⇔＝x＋y（O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1）. 3.向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝（＋）. 4. 在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G（如图所示），易知G为△ABC的重心，则有如下结论： （1）＋＋＝0；（2）＝（＋）；（3）＝（＋）＝（＋）． 5. 在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则=2. 核心考点1 平面向量的基本概念 1. （多选）下列命题正确的是（　　） A. 若都是单位向量，则. B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线 D. 若，则 2. 下列命题中错误的有（　　） A. 平行向量就是共线向量 B. 相反向量就是方向相反的向量 C. 与同向，且，则 D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 3. 如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　） A. B. C. D. 核心考点2 平面向量的线性运算 4. 下列各式化简结果正确的是（　　） A. ＋＝ B. ＋＋＋＝ C. ＋－＝0 D. －－＝ 5. 已知下列各式：①；②；③.其中结果为零向量的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （教材改编题） 6. 如图，正六边形中，______. 核心考点3 共线向量定理的应用 （2020·新高考Ⅱ卷） 7. 若为的边的中点，则 （ ） A. B. C. D. 8. 设与是两个不共线向量，且向量与共线，则________. （教材改编题） 9. 在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________. 10. （多选题）给出下列命题，不正确的有（　　） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同