精品解析：第三节 平面向量的数量积及应用 核心考点集训

第三节 平面向量的数量积及应用 核心考点集训 【2023年高考全国乙卷】 1. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 已知菱形边长为a，，则＝_______. 3. 设四边形为平行四边形，.若点满足，则=______. 4. 已知、为单位向量且夹角为，设，，则在上的投影向量为________． 【2023年新课标全国Ⅰ卷】 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C D. （2023·江苏南通高三考试） 6. 已知向量满足，，若，则向量的夹角为（　　） A. B. C. 或π D. 或π 【2023年新课标全国Ⅱ卷真题】 7. 已知向量，满足，，则______． 8. 已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=______. 9. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. （多选题）已知向量满足.设，则（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 无最大值 11. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A B. C. D. 12. 已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是____． 13. 如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节 平面向量的数量积及应用 核心考点集训 【2023年高考全国乙卷】 1. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以 故选：B. 2. 已知菱形的边长为a，，则＝_______. 【答案】 【解析】 【分析】由菱形性质及三角函数值得到，，利用平面向量数量积公式计算即可. 【详解】连接，与相交于点， 因为四边形为菱形，，边长为a， 所以，，， 故， ，所以. 故答案为： 3. 设四边形为平行四边形，.若点满足，则=______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则，对进行变形，最后用向量表示，再将代入可得答案. 【详解】由题， 故答案为9 【点睛】本题考查了向量数量积，解题的关键是掌握平面向量的加减运算法则，属于中档题目. 4. 已知、为单位向量且夹角为，设，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出、的值，利用投影向量的定义可求得在上的投影向量. 【详解】因为、为单位向量且夹角为，且，， 则， 所以，，且， 所以，在上的投影向量为. 故答案：. 【2023年新课标全国Ⅰ卷】 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． （2023·江苏南通高三考试） 6. 已知向量满足，，若，则向量的夹角为（　　） A. B. C. 或π D. 或π 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合数量积的运算律可解方程求得，结合可确定，由此可得结果. 【详解】由得：， 即， ，解得：或； ，，， 又，. 故选：B. 【2023年新课标全国Ⅱ卷真题】 7. 已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 8. 已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为所以 考点：向量数量积及夹角 9. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设，且，中，结合正弦定理求得，即可求解. 【详解】因为，且 与 的夹角为 ， 如图所示，设，则， 由题意知，设， 因为，在中，由正弦定理得，解得， 所以的最大值为. 故选:C. 10. （多选题）已知向量满足.设，