第六章 4.2 分层随机抽样的均值与方差-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4．2　分层随机抽样的均值与方差　　► 对应学生用书P137 [课程标准]　结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、分层随机抽样的平均数 (1)当已知两层构成的新样本中每层样本容量分别为m，n且平均数分别为1和2时，样本的平均数为1＋2，若记w1＝， w2＝，则这个新样本的平均数为w11＋w22，其中w1，w2称为权重． (2)更一般地，设样本中不同层的平均数和相应的权重分别为1，2，…，n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w11＋w22＋…＋wnn，也可记作． 二、分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为…，，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，样本平均数为，则这个样本的方差为s2＝ . 【基点小试】 1．有8个数的平均数是11，另外有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是(　　) A．11．6 B．2．32 C．23．2 D．11．5 解析：选A．根据平均数的求法：共8＋12＝20个数，这些数之和为8×11＋12×12＝232，故这些数的平均数是＝11．6． 2．某校规定学生的期末学科成绩由课堂表现、作业和考试三部分得分按1∶3∶6的比例来确定．小明同学本学期数学学科这三部分得分分别是：课堂表现98分，作业95分，考试85分，那么小明同学数学学科的期末成绩是(　　) A．93分 B．90分 C．89．5分 D．89．3分 解析：选D．小明同学数学学科的期末成绩是＝89．3(分)． 3．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如下表： 组别 平均分 标准差 第1组 84 6 第2组 80 4 则全班学生这次数学考试的平均成绩为______，方差为________． 解析：由题意，知第1组这次数学考试的平均分1＝84，方差s＝62＝36，权重w1＝，第2组这次数学考试的平均分2＝80，方差s＝42＝16，权重w2＝． 故全班学生这次数学考试的平均成绩＝×84＋×80＝81．5(分)， 方差s2＝w1[s＋(1－)2]＋w2[s＋(2－)2]＝×[36＋(84－81．5)2]＋×[16＋(80－81．5)2]＝27．25． 答案：81．5(分)　27．25 4．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省二、三、四线所有城市房产均价为1．2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2．4万元/平方米，1．8万元/平方米，0．7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________． 解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知，20＝[s2＋(2．4－1．2)2]＋[10＋(1．8－1．2)2]＋[8＋(0．7－1．2)2]，解得s2＝117．98，即二线城市的房价的方差为117．98． 答案：117．98 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　分层随机抽样的平均数 例1．某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如下表：(单位：分) 项目 人员 阅读能力 思维能力 表达能力 甲 93 86 73 乙 95 81 79 (1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将能被录用？ (2)根据实际需要，公司将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按3∶5∶2的比例确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？ 解：(1)∵甲的平均成绩x甲＝(93＋86＋73)÷3＝84(分)，乙的平均成绩x乙＝(95＋81＋79)÷3＝85(分)，∴x乙>x甲，∴乙将被录用． (2)根据题意，得 甲＝＝85．5(分)，乙＝＝84．8(分)． ∴甲>乙，∴甲将被录用． [总结]　计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的 权重，然后运用公式计算即可． 【练一练】 1．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用平均数来确定什锦糖的单价． 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价 (元/千克) 20 25 30 千克数 40 40 20 (1)求该什锦糖的单价； (2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低1元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？ 解：(1)根据题意，得＝24(元/千克)． 故该什锦糖的单价是24元/千克． (2)设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果(100－x)千克， 根据题意，得≤23，解得x≤2