第六章 4.1 样本的数字特征-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　用样本估计总体的数字特征　► 对应学生用书P132 4．1　样本的数字特征 [课程标准]　1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．　2．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义．　3．会计算样本的标准差和方差，了解样本与总体的关系．　4．结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、平均数、众数、中位数 1．平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)，叫作这n个数的平均数．平均数是指这组数据的平均值． 2．众数：一组数据中出现次数最多的数． 3．中位数 (1)定义：一般地，将一组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的． (2)求法：①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数． ②当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大顺序排列的最中间的两个数的平均数． 二、方差 (1)公式：s2＝，其中，xi(i＝1，2，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数． (2)意义：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度． 三、标准差 由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．于是，定义方差的算术平方根s＝＝为标准差． 想一想：标准差、方差的意义是什么？ 提示：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 记一记：1．中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该用抗极端性很强的中位数表示数据的中心值． 2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息． 3．平均数和方差的常用性质 (1)若x1，x2，x3，…，xn的平均数是，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a． (2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等． (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．【基点小试】 1．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一项是(　　) A．中位数可以准确地反映出总体的情况 B．平均数可以准确地反映出总体的情况 C．众数可以准确地反映出总体的情况 D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 解析：选D．根据平均数、中位数、众数的定义可知平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况． 2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　　) A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分 C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分 解析：选C．这个学习小组的数学成绩分别是100，95，90，90，85，85，85，85，80，75，故平均数为＝87分，众数为85分，中位数为85分．故选C． 3．一个样本的容量为60，分成5组，已知第一组、第三组的频数分别是9，10，第二、五组的频率都为，则该样本的中位数在(　　) A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组 解析：选B．第二组的频数为60×＝12，∵9＋12＝21<30．5，9＋12＋10＝31>30．5，∴中位数在第三组． 4．(2021·新高考全国Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 解析：选CD．设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以，C，D正确，故选CD． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　众数、中位数、平均数的计算 例1．某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员