第三章 指数运算与指数函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第三章 指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展　　　　　　► 对应学生用书P69 [课程标准]　通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a，这就是正分数指数幂． 二、分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 想一想：根式与分数指数幂有什么关系？ 提示： ＝a． 【基点小试】 1．计算243等于(　　 ) A．9 B．3 C．±3 D．－3 解析：选B．由35＝243，得243＝3． 2．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝(　　 ) 答案：B． 3．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)， (1)＝________；(2)＝________． 解析：(1)＝a．(2)＝＝． 答案：(1)a　(2) 4．若－1<x<2，化简 －． 解：原式＝ －＝|x－2|－|x＋1|． ∵－1<x<2，∴x＋1>0，x－2<0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　根式的化简与求值 例1．化简： (1)(x＜π，n∈N*)； (2)． 解：(1)∵x＜π，∴x－π＜0． 当n为偶数时， ＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时， ＝x－π． 综上可知， ＝ (2)＝＝ [总结] 　正确区分与 (1)表示a的n次方的n次方根，而表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同． (2)运算结果不同 ①＝a．②＝ 【练一练】 1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　 ) A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0 解析：B．∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0．又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B． 2．若＝，则实数a的取值范围为________． 解析：＝|2a－1|，＝1－2a．因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤． 答案： 题型二　根式与分数指数幂的互化 例2．(1)3可化为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D．3＝＝． (2)可化为(　　 ) 解析：选A．＝＝． [总结]　根式与分数指数幂的互化规律 1．关于式子＝a的两点说明 (1)根指数n即分数指数的分母； (2)被开方数的指数m即分数指数的分子． 2．通常规定a中的底数a>0． 【练一练】 3．将下列各根式化为分数指数幂的形式： (1)；(2)． 解：(1)＝＝． (2)＝． 题型三　求指数幂a的值 例3．求下列各式的值： (1)64；(2)81－． [思路点拨]　结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，a＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解． 解：(1)设64＝x，则x3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096， ∴64＝16． (2)设＝x, 则x4＝81－1＝， 又∵()4＝， ∴＝． [总结]　解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂． 【练一练】 4．求下列各式的值： (1)125；(2)128－． 解：(1)设125＝x，则x3＝125， 又∵53＝125，∴x＝5． (2)设＝x，则x7＝128－1＝， 又∵()7＝， ∴＝． 　高效导学第三步　课后集训巩固，提升综合素养 【基础巩固题组】 1．有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C．正数的偶次方根有两个，负数的偶次方根不存在．①③错误，②④正确． 2．下列各式正确的是(　　 ) A．＝－3 B．＝a C．＝－2 D．＝2 解析：选C．由于＝3，＝，＝－2，故选项A，B，D错误，故选C． 3．下列各式中正确的是(　　 ) A．＝ B．＝xy(x＞0，y＞0) C．＝a－b D．＝(x≠0，y≠0) 解析：选D．由于＝2，＝(xy)，＝(a2－b2)，故选项A，B，C错误； ＝()＝，故选项D正确． 4．若＋有意义，则a的取值范围是(　　 ) A．a≥0 B．a＝2 C．a≠2 D．a≥0且a≠2 解析：选D．由题知 得a≥0且a≠2，故选D． 5．下列根式、分数指数幂的互