第四章 对数运算与对数函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修（第一册）同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第四章 对数运算与对数函数 §1　对数的概念　　　　　　　► 对应学生用书P80 [课程标准]　理解对数的概念． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、对数的概念 1．对数：一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b ，其中a叫作对数的底数 ，N叫作真数． 2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N ． 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2．718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln__N ． 记一记：对数概念中规定a>0，且a≠1 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1． 二、对数式与指数式的互化 　当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN． 三、对数的性质 1．0和负数没有对数，即logaN中N>0 ． 2．1的对数等于0，即loga1＝0． 3．底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． 4．对数恒等式：＝N． 【基点小试】 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 解析：选B．由题意知解得0<a<． 2． (多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) 解析：选ABD．A选项，e0＝1⇔ln 1＝0，正确，B选项，＝⇔log8＝－；正确．C选项，log39＝2⇔32＝9，错误；D选项，log77＝1⇔71＝7，正确．故选ABD． 3．＋log21＋log55＝________． 解析：因为＝2，log21＝0，log55＝1，所以原式＝2＋1＝3． 答案：3 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对数的概念 【练一练】 1．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)27＝128； (2)log2＝－5； (3)lg 1 000＝3； (4)ln x＝2． 解：(1)由27＝128，可得log2128＝7． (2)由log2＝－5，可得2－5＝． (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000． (4)由ln x＝2，可得e2＝x． 2．求下列各式中x的取值范围： (1)lg(x＋2)2； (2)log1－2x(3x＋2)． 解：(1)由(x＋2)2>0得x≠－2，故x的取值范围是{x|x∈R且x≠－2}． (2)由知 故x的取值范围是{x|－<x<且x≠0}． 【悟一悟】 利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的． 题型二　对数性质的应用 例1． 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1． 解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5． (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000． [母题探究]　把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值． 解：因为log2(log5x)＝1， 所以log5x＝2，则x＝52＝25． [总结] 　有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．当有多层对数时，应由外往里求解． 【练一练】 1．求下列各式中x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1； (3)log－1＝x． 解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得 log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27． (2)由log2[log3(log2x)]＝1，得 log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29． (3)∵log－1＝x， ∴(－1)x＝＝＝－1． ∴x＝1． 题型三　对数的计算 例2． 求下列各式中的x值： (1)log2x＝－； (2)x＝log27． 解：(1)由log2x＝－，可得． ∴x＝＝＝． (2)由x＝log27，可得27x＝， ∴33x＝3－2，∴x＝－． 例3．求值： (1)31＋log35； (2)10lg 3＋lg 4； (3)blogba·alogac． 解：