精品解析：第五节 椭圆 第一课时 椭圆的定义、方程与性质 讲

第一课时 椭圆的定义、方程与性质 一.课标要求，准确定位 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 二．考情汇总，名师解读 1.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中. 2.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问， 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. (2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若a＞c，则集合P为椭圆； ②若a＝c，则集合P为线段； ③若a＜c，则集合P为空集. 2．椭圆的标准方程和简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 a，b，c 关系 a2＝b2＋c2 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 简单几何性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 离心率 e＝，且e∈(0，1)，e越接近1，椭圆越扁平 3.在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在. 【二级结论】 (1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①焦点三角形的周长为2(a＋c)； ②4c2＝r＋r－2r1r2cos θ； ③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； ④S＝r1r2sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． (4)离心率e越接近1，椭圆越扁平；离心率e越接近0，椭圆越接近于圆． 核心考点1 椭圆的定义及其应用 1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 (教材改编题) 2. 若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是________ 3. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 12 核心考点2 椭圆的标准方程 4. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 5. 若椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________. 6. 若方程表示椭圆，则k的取值范围是________. 核心考点3 椭圆的几何性质 7. 已知椭圆，则下列结论正确的是 A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为 (教材改编题) 8. 设椭圆的焦距为，若，则椭圆的离心率为___________． (2023·河北邢台诊断考试) 9. 已知点是椭圆上的一点，，是焦点，若取最大时，则的面积是 A. B. C. D. 考向一 利用定义求轨迹方程 (选修一P115习题3.1T6改编) 10. 如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一 个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 11. 已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4