精品解析：第五节 椭圆 第二课时 直线与椭圆的位置关系 讲

第二课时 直线与椭圆的位置关系 一.课标要求，准确定位 1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法. 2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式. 3.会解简单的直线与椭圆相关的综合问题. 二．考情汇总，名师解读 1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题； 2.会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与圆锥曲线的位置关系中的作用． 1．点与椭圆的位置关系 已知点P（x0，y0），椭圆＋＝1（a>b>0），则 （1）点P（x0，y0）在椭圆内⇔＋<1； （2）点P（x0，y0）在椭圆上⇔＋＝1； （3）点P（x0，y0）在椭圆外⇔＋>1. 2．直线与椭圆位置关系的判断 已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立得（b2＋a2k2）x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0， 若该一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0⇔有两个交点⇔相交； Δ＝0⇔有一个交点⇔相切； Δ<0⇔无交点⇔相离． 3．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝ |x1－x2|＝ 或|AB|＝·|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0. 特别地，当弦经过椭圆的集点时，若直线经过椭圆的左焦点，则； 若直线经过椭圆的右焦点，则（为离心率）； 若直线与椭圆焦点所在坐标轴垂直线，则（此时称为椭圆的通径）． 【二级结论】 （1）设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·（k为直线的斜率），注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提. （2） 相交弦所在直线的斜率与弦中点坐标的关系: 若直线交椭圆于，两点，弦的中点为，则直线斜率. （3） 椭圆上任意一点处的切线方程是. （4）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. （5）椭圆与直线相切的条件是． 核心考点1 直线与椭圆的位置关系 1. 直线与椭圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 2. 若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 核心考点2 弦长问题 3. 已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. （2023·河南郑州诊断考试） 4. 已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（ ） A. ±1 B. ± C. D. ± 5. 已知斜率为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，则弦的长为______________. 核心考点3 中点弦问题 （2022·济宁模拟） 6. 已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为______. 8. 过点作斜率为直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 核心考点4 直线与椭圆的综合问题 9. 若点是椭圆：上的动点，则点到直线的距离的最小值是_______，此时，的坐标为_______. 10. 已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为______. 考向一 几何法 11. “”是“直线与椭圆有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 考向二 判别式法 12. 若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为______. 【类题通法】研究直线与椭圆位置关系的方法 方法一： 判别式法 方法二：几何法 对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 考向一 求长度或已知长度求参数 14. 证明：当直线的斜率存在时，若直线交椭圆于，两点，则. 15. 直线与圆相切，并与椭圆交于两点，若，求的值． 16. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4． 求椭圆的方程； 若求直线AB方程． 考向二 求面积或已知面积求参数 17. 已知椭圆C： (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 【类题通法】弦长的求解方法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，设直线与椭圆