精品解析：第六节 双曲线 第一课时 双曲线的定义、方程与性质 讲

第一课时 双曲线的定义、方程与性质 一.课标要求，准确定位 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 二.考情汇总，名师解读 1．考查双曲线定义的应用，求双曲线的标准方程，求双曲线的离心率（或取值范围）及与双曲线的渐近线有关的问题． 2．考查题型有选择题、填空题、解答题．如2023新课标1卷第16题，2021新高考2卷第13题，考查双曲线的性质. 1．双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. （2）其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为两条射线；③若a>c，则集合P为空集. （3）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 性质:①a=b;②e= ;③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 （a>0，b>0） －＝1 （a>0，b>0） 图形 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 简单几 何性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 （－a，0），（a，0） （0，－a），（0，a） 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，且e∈（1，＋∞） （1）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程. （2）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线. （3）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ（λ≠0）. 【二级结论】 （1）离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔. （2）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为，双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值. （3） 若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. （4）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），通径长为. 异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （5） 设P是双曲线上异于顶点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则 |PF1||PF2|=; （6）P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝ （θ＝∠F1PF2）. 核心考点1 双曲线的定义及其应用 1. 已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（ ） A. 1或13 B. 1 C. 13 D. 9 2. 已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 核心考点2 双曲线的标准方程 （教材改编题） 3. 双曲线与椭圆的焦点相同，则实数_______. （选修一P121T1改编） 4. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 5. 已知曲线是双曲线，则实数的取值范围为__________． 核心考点3 双曲线的几何性质 6. 双曲线的实轴长是________，虚轴长为________，渐近线为________，离心率为________. （2020·北京卷） 7. 已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 8. 若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为 A. B. C. D. 核心考点4 双曲线的综合应用 9. 已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（ ） A. B. C. D. （2023·长沙适应性考试） 10. 若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ） A B. C. D. 考向一 利用定义求轨迹方程 11. 在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线