精品解析：第六节 双曲线 第一课时 双曲线的定义、方程与性质 核心考点集训

第一课时 双曲线的定义、方程与性质 核心考点集训 1. 已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ） A. B. C D. ［浙江绍兴诸暨2023期末] 2. 已知双曲线，分别为左、右焦点，P为曲线C上的动点，若的平分线与x轴交于点，则为（ ） A. B. C. D. 6 3. 已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______. ［湖北十堰2023调研] 4. 已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________． ［广东惠州2023第三次调研] 5. “”是“方程表示双曲线”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ［天津塘沽一中2023期末] 6. 已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. (2023·山东济南模拟) 7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. ［广西梧州2023一模] 8. 过四点，，，中的三点的双曲线方程为，则的渐近线方程为_______. ［福建2023质检] 9. 已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 （2022全国乙卷，多选） 10. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. （2023广州模拟） 11. 已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为40°，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. ［安徽芜湖2023期末] 12. 已知双曲线：左、右焦点为，，为双曲线渐近线上一点．满足，且直线，的斜率之和为，则双曲线的离心率为______． 13. 已知双曲线和椭圆有相同焦点，则的最小值为______． ［天津耀华中学2023第二次月考] 14. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为32，则的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 ［河南TOP二十名校2023二模] 15. 已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（ ） A B. C. D. ［山东泰安2023二模] 16. 已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一课时 双曲线的定义、方程与性质 核心考点集训 1. 已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解. 【详解】由于，因此满足， 的动点P的轨迹均不是双曲线， 满足的动点P的轨迹是双曲线的右支， 而满足的动点P的轨迹才是双曲线． 故选：B． ［浙江绍兴诸暨2023期末] 2. 已知双曲线，分别为左、右焦点，P为曲线C上动点，若的平分线与x轴交于点，则为（ ） A B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质以及双曲线的定义可得，进而根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知 不妨设在右支上，根据角平分线的性质可得，又， 所以，在中，由余弦定理得, 进而 ； 方法二：由双曲线的光学性质可知MP为切线，设，故其方程为， 又因为过，则，则. 故选：B. 3. 已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据动圆同时与圆及圆外切，即可得到几何关系，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程. 【详解】由题，设动圆半径为，圆的半径为，圆的半径为, 当动圆与圆，圆外切时,,, 所以, 因为圆心,，即，又 根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，， 所以,则动圆圆心的轨迹方程是； 故答案为： ［湖北十堰2023调研] 4. 已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，