精品解析：第七章 重难专攻(七) 立体几何中的综合问题 讲

重难专攻(七)  立体几何中的综合问题 一．课标要求，准确定位 1．了解立体几何中的动态、最值、翻折、探究等问题． 2．能够将问题转化为平面几何问题，通过构造函数、基本不等式等方法加以解决． 二．考情汇总，名师解读 在高考中，立体几何中的综合问题需要考生具备较强的综合分析和解决问题能力．一般涉及立体几何中的综合问题时，需要正确地分析出几何体中根本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形． 【二级结论】 三余弦定理：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线， 则三角关系为： (、只能是锐角) 通俗讲就是，平面的一条斜线与所成角为，内的直线与在上的射影夹角为，与所成角为，则．又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角． 核心考点1 动态问题 1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ） A 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 2. 已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则点D的运动轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 核心考点2 最值(范围)问题 3. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，，点P在线段上，则的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 核心考点3 存在性问题 5. 如图，矩形中，，M为BC的中点，将沿直线翻折，构成四棱锥，N为的中点，则在翻折过程中， ①对于任意一个位置总有平面； ②存在某个位置，使得； ③存在某个位置，使得； 上面说法中所有错误的序号是____________． 6. 如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. （1）求证：； （2）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 考向一 轨迹问题 7. 如图，已知正方体的棱长为2，P是平面内的动点，Q是上一点且，若点P到的距离与P，Q距离的平方差等于4，则点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线 8. 如图，已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是________． 考向二 翻折问题 9. 已知矩形中，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 存某个位置，使得直线与直线垂直 B. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直 D. 对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 10. 已知矩形，，，、分别为边、的中点.沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，的中点的轨迹长度为______. 【类题通法】解决与几何体有关的动态问题的方法 （1）几何法：根据平面性质进行判定； （2）定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算； （3）特殊值法：根据空间图形线段长度取特殊值或位置进行排除． 立体几何图形翻折问题注意事项 折前折后各元素相对位置的变化．要理清哪些位置，关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变．解决翻折问题的关键可以归纳如下： （1）找准“基准图”折叠; （2）画好“2个图”-----折叠前的平面图和折叠后的立体图; （3）寻找“2个量”-----哪些量(或关系)发生了变化，哪些量(或关系)没有发生变化． 考向一 最值问题 (2023·湖北二十一重点中学第二次联考) 11. 如图，空间四面体中，，二面角的大小为，在平面内过点B作AC的垂线l，则l与平面所成的最大角的正弦值为________________． 12. 如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，2，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为_________. 考向二 范围问题 【广西南宁市第三中学2023届高三三模来源】 13. 如图，在正方体 中，为棱上的动点，则直线与平面所成角（过点作平面的垂线，设垂足为．连接，直线与直线相交所形成不大于的角）的正弦值的范围是（ ） A. B. C. D. 【广西壮族自治区玉林市玉林市高三联考2024届高三上学期开