精品解析：第六节 双曲线 第二课时 直线与双曲线的位置关系 讲

第二课时 直线与双曲线的位置关系 一.课标要求，准确定位 1.理解直线与双曲线的位置关系，会求直线被双曲线所截的弦长. 2.通过直线与双曲线的位置关系，进一步体会数形结合的思想. 二.考情汇总，名师解读 1.会判断直线与双曲线的位置关系，解决弦长、中点弦的计算问题； 2.会从不同角度体现判别式、根与系数的关系、点差法、圆锥曲线的性质、线段垂直平分线的性质等知识在直线与双曲线的位置关系中的作用．如：2023新课标2卷、2022新高考1卷、2021新高考1卷第21题，全部以解答题形式考查双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系. 直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m（m≠0），　① 双曲线C：－＝1（a>0，b>0），　② 把①代入②得（b2－a2k2）x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. （1）当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点. （2）当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝（－2a2mk）2－4（b2－a2k2）（－a2m2－a2b2）． Δ>0⇒直线与双曲线有2个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有1个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 【二级结论】 1.同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 2.过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为－＝1 3.AB为双曲线=1（a>0，b>0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，弦的中点M（x0，y0），则直线AB的斜率k=. 核心考点1 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线交点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是（ ） A. a＝1 B. 0<a<1 C. a>1 D. a≥1 3. 直线l过点（2，1），且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 核心考点2 弦长问题 4. 已知双曲线=1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为_____. 5. 过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________. 核心考点3 中点弦问题 6. 已知直线l被双曲线C：﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l的方程（ ） A. x+4y﹣9=0 B. x﹣4y+7=0 C. x﹣8y+15=0 D. x+8y﹣17=0 7. 双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 考向一 借助双曲线的渐近线判断 8. 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支有两个交点，则 A. B. C. D. （2022·全国甲卷（文）） 9. 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________． 考向二 利用判别式法进行判断 10. 已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： （1）直线l与双曲线有两个公共点； （2）直线l与双曲线有且只有一个公共点； （3）直线l与双曲线没有公共点． 11. 直线与曲线（　　 ） A. 没有交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 有三个交点 【类题通法】直线与双曲线位置关系的判断方法 （1）方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y（或x），则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行（或重合），直线与双曲线只有一个公共点（或无公共点）；二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直线与双曲线有一个公共点，若Δ<0，则直线与双曲线没有公共点． （2）数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 考向一 利用两点间距离公式求解弦长 12. 已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A B. C. D. 【山西省阳泉市2023届高三二模】 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. C. 的面积为 D. 考向二 利用弦长公式求解 14. 过双曲线左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（ ） A. 1条