精品解析：第七章 立体几何与空间向量 第六节 利用空间向量求空间角与距离 讲

第六节 利用空间向量求空间角与距离 一.课标要求，准确定位 1．能用向量法解决异面直线.直线与平面.平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用． 2．会求空间中点到直线以及点到平面的距离． 二.考情汇总，名师解读 空间角和距离是高考常考考点，应用向量解决空间问题要求学习者能准确将平面向量.空间向量的概念，定理等内容与平面几何.空间立体几何有机的隔合在一起，提升解决问题的能力，将形与数，数与量有机的结合起来，为提升数学能力奠定基础. 【二级结论】 线线角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角， 则. 线面角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为. 则. 点面距： 设平面的法向量为，是平面外一点， 向量是向量在平面上投影向量，则. 核心考点1 空间角 1. 直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小为______． 核心考点2 空间距离 3. 空间中有三点，则点到直线距离为（ ） A. B. C. D. 4. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 核心考点3 范围与最值 5. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 . 【江西省贵溪市实验中学2023届高三三模】 6. 已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是______. 考向一 异面直线所成角 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023届高三四模】 7. 如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 江西省贵溪市实验中学2023届高三下学期第四次月考】 8. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（ ） A. B. C. D. 【类题通法】异面直线所成角 1.若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2.利用空间向量求异面直线所成角的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角. 3.求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角. （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值. 考向二 线面角 【河北省沧州市示范性高中2023届高三三模】 9. 在空间直角坐标系中，已知，，，，，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为______. 10. 如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.求直线与平面的夹角. 【类题通法】直线与平面所成角 设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为. 则. 考向三 二面角 11. 如图，过边长为的正方形的顶点A作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【类题通法】平面与平面所成角 如图， 于于，平面交于，则为二面角的平面角， . 分别为面的法向量，，则二面角的平面角或， 即二面角等于两个面法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角． 考向一 点到直线的距离 13. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 14. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为__________. 【类题通法】点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则 考向二 点到平面的距离 15. 在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 16. 在空间直角坐标系中，已知，，，则三棱锥的体积为