精品解析：第七章 立体几何与空间向量 第六节 利用空间向量求空间角与距离（核心考点集训）

第六节 利用空间向量求空间角与距离（核心考点集训） 1. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 4. 如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（ ） A. － B. C. － D. 5. 在正方体中，为线段上的动点，则与直线夹角为定值的直线为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在棱长为1正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线AB的距离为___________. 11. 若二面角为，直线，则平面内的所有直线与所成角的取值范围是（ ） A B. C. D. 12. 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　） A. 1 B. C. D. 13. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A B. C. D. 【江西省稳派联考2023届高三模拟预测】 14. 在空间直角坐标系中，已知，则当点到平面的距离最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六节 利用空间向量求空间角与距离（核心考点集训） 1. 如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可 【详解】设，则， 因为，所以， 所以， 所以，化简得， 所以，所以，即的余弦值为. 故选：C. 2. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出，从而选出正确选项 【详解】 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．易知平面的一个法向量为， 则， 所以，. 故选：B 3. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质证明两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点坐标以及和的坐标，由空间向量夹角公式计算即可求解. 【详解】取的中点，连接，因为，所以 又因为平面平面，平面平面，面， 所以平面， 又因为，，可得两两垂直， 所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是等腰直角三角形，，为等边三角形， 可得，，，， 所以，， 所以， 设异面直线与所成角为，则 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B. 4. 如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（ ） A. － B. C. － D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可； 法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可. 【详解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N，. 解法一 取MN的中点G，连接BG，AG，