精品解析：第九章 第一节 计数原理（讲）

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第一节 计数原理 一.课标要求，准确定位 1.了解计数与现实生活的联系，会解决简单计数问题. 2.通过实例，理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数、组合数公式，并解决简单的实际问题. 二．考情汇总，名师解读 1.2020年新高考第3题考查了组合计数和乘法原理；2021年新高考（Ⅰ）卷和（Ⅱ）卷都未考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2022年新高考（Ⅰ）卷未考查计数原理，新高考（Ⅱ）卷第4题考查了排列组合计数. 2. 从2022年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列组合解决概率有关的问题． 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （1）分类加法计数原理 ①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. ②拓展：完成一件事，如果有n类不同方案，且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. （2）分步乘法计数原理 ①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. ②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 2.排列与组合 （1）排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． （2）排列数 定义及表示 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 全排列的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概念 正整数1到n的连乘积，用n！表示．A＝n！，0！＝1 排列数公式（n，m∈N*，m≤n）. 连乘式A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） 阶乘式A＝ （3）组合：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. （4）组合数 定义及表示 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示 组合数 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 两个 性质 性质1 C＝C 性质2 C＝C＋C 2.常用公式 （1）A＝（n－m＋1）A＝nA＝mA＋A； （n＋1）！－n！＝n·n！； （2）kC＝nC；C＝C＋C＋…＋C. 核心考点1 分类加法计数原理 1. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（ ） A. 30 B. 20 C. 10 D. 6 2. 甲、乙、丙三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 10种 D. 16种 3. “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________． 核心考点2 分步乘法计数原理 4. 如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红､黄､蓝､绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有（ ） A. 64 B. 48 C. 24 D. 12 5. 某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从0~9这10个数字中任选一个）．小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为______． 6. 在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 核心考点3 排列与排列数 7. 某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种. A. 18 B. 36 C. 60 D. 72 8. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 A. 180