精品解析：第九章 第三节 随机事件的概率与古典概型 讲

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第三节 随机事件的概率与古典概型 一.课标要求，准确定位 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件的并、交运算. 4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式． 5.理解古典概型及其概率计算公式． 二．考情汇总，名师解读 近几年的高考以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．预计2024年高考三种题型均可能出现，随机事件的频率与概率的题目以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率以选择题、填空题的形式出现，难度中档.古典概型的概率会单独命题或以工具形式与概率统计综合命题，难度中档. 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 4.概率与频率 一般地，随着试验次数n增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 6．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 7．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 2．概率加法公式推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 3．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 4．一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 核心考点1 互斥事件与对立事件的概率 1. 已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A. 若A，B为两个随机事件，则 B. 若事件A，B，C两两互斥，则 C. 若A，B为互斥事件，则 D. 若，则 3. 从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不