精品解析：第九章 第二节 二项式定理 讲

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第二节 二项式定理 一.课标要求，准确定位 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二.考情汇总，名师解读 1.2022年北京卷第8题，浙江卷第12题，新高考(Ⅰ)卷第13题，2023年北京卷第5题，天津卷第11题考查了二项式定理. 2. 从2022年及2023年高考情况来看，考查内容主要体现以下两个方面：利用二项式定理解决特定项的系数，利用赋值法求解展开式中项的系数和问题. 1二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋ an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 (k＝0，1，…，n) 2.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. （2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋＋＋…＋＝2n. 【常用结论】 1.＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1. 2.=＋. 核心考点1 二项展开式的通项及其应用 [2022·清华大学附中模拟] 1. 在的二项展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. (2022·山东临沂一模) 2. 二项式的展开式中系数为无理数的项的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知的展开式中的系数为，的系数为，若，则___________． 核心考点2 二项式系数的性质与应用 (2023·唐山模拟) 4. 下列关于展开式的说法中正确的是（ ） A. 常数项为－160 B. 第4项的系数最大 C. 第4项的二项式系数最大 D. 所有项的系数和为1 5. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为64 C. 常数项为1215 D. 系数最大的项为第3项 核心考点3 项的系数和 6. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ） A. 二项式系数和为32 B. 各项系数和128 C. 常数项为 D. 常数项为135 7. 设，则的值为________. 8. 若，则__________； __________． 考向一 求解指数n 9. 若的展开式中存在常数项，则（ ） A. B. C. D. 10. 二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于________. 考向二 求解通项中的参数 11. 若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（ ） A. 1 B. 32 C. 0 D. 64 12. 已知的展开式中的常数项是672，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【类题通法】 求二项展开式中特定项的步骤 考向一　所有项系数和 13. 若，则（ ） A. 1 B. 513 C. 512 D. 511 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. 考向二　奇或偶数项系数之和 15. ，则（ ） A. 41 B. 40 C. D. 16. 若则（ ） A. B. C. D. 考向三 奇偶数项系数差的问题 17. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 15 D. -15 18. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【类题通法】 形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 考向一 两个多项式积的问题 19. 的展开式中常数项为_________．（用数字作答） （2023·河南·统考三模） 20. 已知的展开式中的系数为，则实数（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【类题通法】 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 考向二 三项式的展开式问题 21. 展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为___________． （2023·湖南长沙·长沙实验中学二模） 22. 已知二项式的展开式中含的项的系数为，则________． 【类题通法】 求三项展开式中某些特定项(或系数)的三种方法 【微点解读】1.二项式系数最大项的确定方法 2.二项展开式系数最大项的求法 23. 二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是_____________． 24. 二项式的展开式中，系数最大项的是（ ）